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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Ersti10 |
| Aufgabe | Finden Sie heraus welche der folgenden Reihen konvergent, absolut konvergent oder diver-
gent sind.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n+2}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{n^{5}+1} [/mm] |
Erstmal wünsche ich ein Frohes Neues Jahr !
In der Vorlesung haben wir gelernt, dass wenn [mm] a_{n} [/mm] eine monoton fallende Folge ist und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0, dass dann gilt, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} [/mm] * [mm] a_{n} [/mm] konvergiert.
(Leibniz-Kriterium)
Nun kommt der Punkt bei dem es bei mir schwierig wird.
Da steht nun:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n+2}
[/mm]
Das bedeutet ja, dass der rechte Term [mm] a_{n+1} [/mm] ist.
Gilt in diesem Fall auch das Leibniz-Kriterium oder muss ich die Reihe auf
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} [/mm] * [mm] a_{n} [/mm] umformen und wie ist das dann bei Teilaufgabe b)?
Mein Ergebnis für a) wäre, dass diese Reihe absolut konvergiert, da der limes von [mm] a_{n+1} [/mm] gegen 0 strebt und laut dem Quotienten-Kriterium der Betrag von [mm] a_{n+1} [/mm] kleiner 1 ist.
Hoffe mir kann da jmd. bei meiner Frage weiterhelfen. =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
> Da steht nun:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}[/mm] *
> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{n+2}[/mm]
>
> Das bedeutet ja, dass der rechte Term [mm]a_{n+1}[/mm] ist.
Warum? Also letztlich ist es egal, ob du das [mm] a_{n+1} [/mm] oder [mm] a_n [/mm] nennst.
Aber ich würde nehmen:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n+2}$
[/mm]
Damit du siehst, warum du das machen kannst, zieh einfach ein (-1) aus der Summe raus.
> Gilt in diesem Fall auch das Leibniz-Kriterium oder muss
> ich die Reihe auf
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}[/mm] * [mm]a_{n}[/mm] umformen und wie ist
> das dann bei Teilaufgabe b)?
Naja, du kannst es umformen, wenn du es nicht siehst (Tip steht ja oben).
Wenn es dir klar ist, brauchst du das nicht.
> Mein Ergebnis für a) wäre, dass diese Reihe absolut
> konvergiert, da der limes von [mm]a_{n+1}[/mm] gegen 0 strebt und
> laut dem Quotienten-Kriterium der Betrag von [mm]a_{n+1}[/mm]
> kleiner 1 ist.
Beim Quotientenkriterium betrachtest du ja nicht [mm] $a_{n+1}$, [/mm] sondern einen Quotienten. Welchen?
Wenn deins funktionieren würde, wäre ja jede konvergente Reihe sofort absolut konvergent, was offensichtlich nicht gilt....
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Ersti10 |
Danke sehr, hat mir weiter geholfen.
Ich hab in nem Mathebuch gelesen gehabt, dass wenn es heißt [mm] (-1)^{n+1}, [/mm] dass dann der Term auch immer [mm] a_{n+1} [/mm] ist und nicht [mm] a_{n}. [/mm] ^^
Mir ist klar, dass man einen Quotienten betrachtet. Laut unserem Professor lautet die Quotientenregel : [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
Damit habe ich auch gerechnet. Hoffe das war richtig.
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