Legendre ? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Sei [mm] $M(p)=2^p-1,~p\in\IP, [/mm] ~p [mm] \equiv [/mm] 3~(mod~4).$ Zeige:
[mm] $$2p+1\in\IP\Rightarrow [/mm] (2p+1)|M(p)$$ |
Hallo,
mir fehlt bei dieser Aufgabe der richtige Ansatz. Es riecht ja ein bisschen nach einem schönen Widerspruchsbeweis, da soviele Vorraussetzungen gegeben sind.
Man kann ja auch schön mit dem Legendresymbol arbeiten:
Angenommen [mm] $2p+1\in\IP$, [/mm] dann genügt z.z.: [mm] $$\left(\frac{M(p)}{2p+1}\right)=0$$
[/mm]
Denn dann wäre ja $M(p)$ ein Vielfaches von $2p+1$ und die Behauptung somit bewiesen.
Es ist
[mm] $$\left(\frac{2^p-1}{2p+1}\right)\equiv (2^p-1)^{\frac{2p+1-1}{2}}~(mod~2p+1) [/mm] = [mm] (2^p-1)^p$$
[/mm]
Nun muss ich nur noch zeigen, dass [mm] $2^p-1)^p \equiv [/mm] 0 ~(mod~2p+1)$ ist, nur komme ich genau hier nicht weiter! Mit den Binomialkoeffizienten fällt mir echt nichts schlaues ein!!
Vielen Dank für eure Hilfe!!
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Mi 09.01.2008 | | Autor: | bobby |
hallo ole!
"Nun muss ich nur noch zeigen, dass ist, nur komme ich genau hier nicht weiter! Mit den Binomialkoeffizienten fällt mir echt nichts schlaues ein!! "
überleg dir mal, dass [mm] x^{2}\equiv2(mod [/mm] 2p+1) ist, dann ist [mm] 2^{p}\equiv(x^{2})^{p}=...=1(mod2p+1)
[/mm]
das ist schon fast (bis auf ...) alles 
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