Legendre-symbol, Lösungen. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei p eine ungerade Zahl.
Zeige: Die Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p) besitzt genau 1+ [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] modulo p inkongruente Lösungen (mit a [mm] \in\IZ [/mm] beliebig) |
[mm] \left(\frac{a}{p}\right) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Rest modulo } p \mbox{ ist} \\ -1 & \mbox{wenn } a \mbox{ quadratischer Nichtrest modulo } p \mbox{ ist} \\ 0 & \mbox{wenn } p|a \end{cases} [/mm]
[mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p)
[mm] (\frac{a}{p})=(\frac{x^2}{p})= (\frac{x*x}{p})= (\frac{x}{p})* (\frac{x}{p})
[/mm]
Wenn es eine Lösung gibt für [mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p) ist offensichtlich [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] >= 0
=> [mm] (\frac{a}{p})= (\frac{x}{p})* (\frac{x}{p}) [/mm] =1
Hilfe würde mich freuen!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Fr 08.06.2012 | | Autor: | hippias |
Wenn z.B. die Kongruenz keine Loesung besitzt, stimmt die Anzahl der Loesungen dann modulo $p$ mit [mm] $1+(\frac{a}{p})$ [/mm] ueberein? Ebenso fuer die anderen Faelle.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
> Die Kongruenz hat eine Lösung.
1+ [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] =1
[mm] <=>(\frac{a}{p}) [/mm] =0
=> p|a
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> > z.B. die Kongruenz keine Loesung besitzt
> D.h a ist quadratischer Nichtrest Modulo p =>
> [mm](\frac{a}{p})[/mm] = -1
> 1+ [mm](\frac{a}{p}) [/mm]= 1 + (-1)=0
> Es gibt 0 Lösungen - korrekt
>
> > Die Kongruenz hat eine Lösung.
> 1+ [mm](\frac{a}{p})[/mm] =1
> [mm]<=>(\frac{a}{p})[/mm] =0
> => p|a
>
>
> > Die Kongruenz hat zwei Lösungen.
> 1+ [mm](\frac{a}{p})[/mm] =2
> [mm](\frac{a}{p})[/mm] = 1
> <=> a quadratischer Rest modulo p
>
> Aber wie zeige ich dass es nur 0,1,2 Lösungen geben kann
> und nicht mehr? Der Beweis ist kein richtiger beweis.
moin,
Zuerst: Kann es sein, dass $p$ eine ungerade Primzahl sein soll?
Nehmen wir nämlich etwa $p=9$ und $a=0$, so gibt es die beiden Lösungen $x=3$ und $x=0$, die nicht kongruent sind.
Aber $9 | 0$, also dürfte es nach Aufgabenstellung nur eine geben.
Gehen wir mal davon aus, dass $p$ eine Primzahl sein soll.
Dann ist [mm] $\IZ_p$ [/mm] ein Körper.
Die Lösungen von [mm] $x^2 \equiv [/mm] a$ (mod $p$) sind dann gerade die Nullstellen von [mm] $x^2-a \in \IZ_p[x]$.
[/mm]
Was kannst du über die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der Tatsache, dass [mm] $\IZ_p$ [/mm] ein Körper ist)?
lg
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
Ja eine Primzahl.
> Die Lösungen von $ [mm] x^2 \equiv [/mm] a $ (mod p) sind dann gerade die Nullstellen von $ [mm] x^2-a \in \IZ_p[x] [/mm] $.
> Was kannst du über die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der Tatsache, dass $ [mm] \IZ_p [/mm] $ ein Körper ist)?
Im Skript gefunden:
Sei p [mm] \not= [/mm] 2 eine Primzahl und a [mm] \in \IZ [/mm] mit p teilt nicht a. Wenn a quadratischer Rest modulo p ist, gibt es genau zwei modulo p inkongruente Lösungen der Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] a (p)
Also passt mein beweis im vorigen beitrag?
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> Ja eine Primzahl.
>
> > Die Lösungen von [mm]x^2 \equiv a[/mm] (mod p) sind dann gerade die
> Nullstellen von [mm]x^2-a \in \IZ_p[x] [/mm].
> > Was kannst du über
> die Anzahl der Nullstellen sagen (unter Verwendung der
> Tatsache, dass [mm]\IZ_p[/mm] ein Körper ist)?
>
> Im Skript gefunden:
> Sei p [mm]\not=[/mm] 2 eine Primzahl und a [mm]\in \IZ[/mm] mit p teilt
> nicht a. Wenn a quadratischer Rest modulo p ist, gibt es
> genau zwei modulo p inkongruente Lösungen der Kongruenz
> [mm]x^2 \equiv[/mm] a (p)
Wenn das so im Skript steht darfst du es natürlich verwenden.
> Also passt mein beweis im vorigen beitrag?
Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn $p | a$?
Das ist zwar nicht schwer zu begründen, aber ganz ohne Begründung kann man es auch nicht stehen lassen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
> Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn $ p | a $?
[mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p)
<=> [mm] x^2 \equiv [/mm] =0 (mod p )
=> genau 1 Lösung x=0
so?
LG
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> > Wieso hat die Kongruenz genau eine Lösung, wenn [mm]p | a [/mm]?
> [mm]x^2 \equiv[/mm] a (mod p)
> <=> [mm]x^2 \equiv[/mm] =0 (mod p )
> => genau 1 Lösung x=0
>
> so?
>
> LG
jup
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Fr 08.06.2012 | | Autor: | sissile |
danke für die Hilfe
LG
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