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Lebesque Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Fr 19.06.2020
Autor: James90

Hallo zusammen,

in einer Übungsklausur steht:

Sei [mm] A\subseteq\IR^d [/mm] messbar, h>0.
Außerdem sei [mm] B=\{(a,t)\in\IR^{d+1}\mid a\in A, t\in[0,h]\}. [/mm]
Ist dann [mm] \lambda^{d+1}(B)=h\lambda^{d}(A)? [/mm]

Als Antwort steht: "Ja, das können Sie an einer einfachen Skizze feststellen".

Skizze schön und gut, aber kann man das nicht auch direkt zeigen?

Vielen Dank und viele Grüße
James

        
Bezug
Lebesque Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Fr 19.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Skizze schön und gut, aber kann man das nicht auch direkt zeigen?

ja, bspw. mit dem Satz von Fubini.

Es ist [mm] $1_B(a,t) [/mm] = [mm] 1_A(a)1_{[0,h]}(t)$ [/mm]

damit folgt:
[mm] $\lambda^{d+1}(B) [/mm] = [mm] \int_B d\lambda^{d+1} [/mm] = [mm] \int_{\IR^{d+1}} 1_B d\lambda^{d+1} [/mm] = [mm] \int_{R^d} \underbrace{\int_\IR 1_A 1_{[0,h]} d\lambda}_{h} d\lambda^d [/mm] = h [mm] \int_{R^d} 1_A d\lambda^d [/mm] = [mm] h\lambda^d(A)$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Lebesque Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Fr 19.06.2020
Autor: James90

Hallo Gono!

> Hiho,
>  
> > Skizze schön und gut, aber kann man das nicht auch direkt
> zeigen?
>  ja, bspw. mit dem Satz von Fubini.
>  
> Es ist [mm]1_B(a,t) = 1_A(a)1_{[0,h]}(t)[/mm]
>  
> damit folgt:
> [mm]\lambda^{d+1}(B) = \int_B d\lambda^{d+1} = \int_{\IR^{d+1}} 1_B d\lambda^{d+1} = \int_{R^d} \underbrace{\int_\IR 1_A 1_{[0,h]} d\lambda}_{h} d\lambda^d = h \int_{R^d} 1_A d\lambda^d = h\lambda^d(A)[/mm]

Super cool, vielen Dank! :-)

Bei der nächsten Menge [mm] $C=\{t(a,0)+(1-t)(p,h)\in\IR^{d+1}\mid a\in A, t\in[0,1]\}$, [/mm] wobei [mm] $p\in\IR^d$ [/mm] wird auch die Frage stellt ob [mm] $\lambda^{d+1}(C)=\frac{h\lambda^{d}(A)}{d+1}$ [/mm] ist.

Könnte man hier das auch direkt berechnen?

[mm] 1_C(t(a,0)+(1-t)(p,h))=t*1_A(a)*1_{[0,1]}(t)+(1-t)(p,h) [/mm]

Dann Aufspaltung durch $[0,1]=[0,h]-[1,h]$? Oder würdest du hier lieber mit [mm] \frac{h\lambda^{d}(A)}{d+1} [/mm] anfangen?

Danke dir nochmal für deine schnelle Antwort!

Viele Grüße
James

Bezug
                        
Bezug
Lebesque Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Sa 20.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]1_C(t(a,0)+(1-t)(p,h))=t*1_A(a)*1_{[0,1]}(t)+(1-t)(p,h)[/mm]

Das ist doch Blödsinn.
Links steht eine Funktion, die entweder 1 oder 0 ist, rechts steht was, was 0,t,(1-t) und 1 sein kann.

Kann das gleich sein?

Also: Neuer Ansatz und Integral dann selbst berechnen!
Wie sieht C für den Fall d=1 denn aus?

Gruß,
Gono

Bezug
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