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| Aufgabe | Aufgabe 1) Zeigen Sie: Es sei f [mm] \in L^1([a,b]) [/mm] und f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 für fast alle x [mm] \in [/mm] [a,b]. Ist [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = 0, so folgt f(x)=0 fast überall.
Aufgabe 2) Zeigen Sie: Es sei f [mm] \in L^1([a,b]) [/mm] und [mm] \integral_{I}{f(x) dx} [/mm] = 0 für jedes Intervall I [mm] \subset [/mm] [a,b]. Dann ist f(x) = 0 fast überall. |
Aufgabe 2) habe ich bereits gelöst, in dem ich für nichtnegative Funktionen gezeigt habe, dass {f > 0} eine Lebesgue-Nullmenge ist. Meine eigentliche Frage ist:
Folgt Aufgabe 1) nicht direkt aus Aufgabe 2)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe 1) Zeigen Sie: Es sei f [mm]\in L^1([a,b])[/mm] und f(x)
> [mm]\ge[/mm] 0 für fast alle x [mm]\in[/mm] [a,b]. Ist [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> = 0, so folgt f(x)=0 fast überall.
>
> Aufgabe 2) Zeigen Sie: Es sei f [mm]\in L^1([a,b])[/mm] und
> [mm]\integral_{I}{f(x) dx}[/mm] = 0 für jedes Intervall I [mm]\subset[/mm]
> [a,b]. Dann ist f(x) = 0 fast überall.
> Aufgabe 2) habe ich bereits gelöst, in dem ich für
> nichtnegative Funktionen gezeigt habe, dass {f > 0} eine
> Lebesgue-Nullmenge ist. Meine eigentliche Frage ist:
>
> Folgt Aufgabe 1) nicht direkt aus Aufgabe 2)?
Wie kommst Du darauf ?
FRED
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> Wie kommst Du darauf ?
>
>
> FRED
Es gilt: Ist f auf einem kompakten Intervall Riemann-integrierbar, so ist sie auch Lebesgue-integrierbar und die Integrale stimmen überein.
Ich habe gezeigt, dass für f [mm] \in L^1([a,b]) [/mm] mit [mm] \integral_{I}{f(x) dx} [/mm] = 0 gilt f(x)=0 f.ü. Entsprechend gilt dies insbesondere für I=[a,b]. Da [mm] \integral_{[a,b]}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ist (mit der Einschränkung: f Riemann-integrierbar), muss damit auch f(x)=0 f.ü. für Riemann-integrierbare Funktionen folgen.
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Noch mal obige Mitteilung als Frage deklariert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 11.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 So 11.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
Darf ich fragen wie du Aufgabe 2 gelöst hast?
Es muss ja [mm]\{f>0\}[/mm] kein Intervall sein.
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Es sei A := [mm] \{f > 0\} [/mm] und [mm] A_n [/mm] := [mm] \{f>1/n\}. [/mm] Dann konvergiert [mm] A_n [/mm] gegen A für n gegen [mm] \infty.
[/mm]
OBdA sei f nicht negativ (betrachte ansonsten f= [mm] f^{+} [/mm] - [mm] f^{-}).
[/mm]
Aus [mm] \bruch{1}{n}\chi_a \le [/mm] f (die Ungleichung kann man einfach prüfen, wenn man x einsetzt) folgt:
0 [mm] \le \bruch{1}{n} \lambda(A_n)= \integral_{X}{\bruch{1}{n} \chi_{A_n} dx} \le \integral_{X}{f dx} [/mm] = 0. Damit muss [mm] \lambda(A_n)=0 [/mm] sein und damit auch [mm] \lambda(A).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Es sei A := [mm]\{f > 0\}[/mm] und [mm]A_n[/mm] := [mm]\{f>1/n\}.[/mm] Dann
> konvergiert [mm]A_n[/mm] gegen A für n gegen [mm]\infty.[/mm]
>
> OBdA sei f nicht negativ (betrachte ansonsten f= [mm]f^{+}[/mm] -
> [mm]f^{-}).[/mm]
>
Sicher? Was macht man dann mit dieser Zerlegung von f?
Man kann nämlich nicht von [mm]\integral_{X}{f^+ dx} = 0[/mm] ausgehen, womit man unten dann nicht mehr den Einschluss von [mm]\lambda(A_n)[/mm] zwischen den beiden Nullern hat.
> Aus [mm]\bruch{1}{n}\chi_a \le[/mm] f (die Ungleichung kann man
> einfach prüfen, wenn man x einsetzt) folgt:
>
> 0 [mm]\le \bruch{1}{n} \lambda(A_n)= \integral_{X}{\bruch{1}{n} \chi_{A_n} dx} \le \integral_{X}{f dx}[/mm]
> = 0. Damit muss [mm]\lambda(A_n)=0[/mm] sein und damit auch
> [mm]\lambda(A).[/mm]
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> Sicher? Was macht man dann mit dieser Zerlegung von f?
> Man kann nämlich nicht von [mm]\integral_{X}{f^+ dx} = 0[/mm]
> ausgehen, womit man unten dann nicht mehr den Einschluss
> von [mm]\lambda(A_n)[/mm] zwischen den beiden Nullern hat.
>
Für ein fixiertes x ist immer entweder [mm] f^{+} [/mm] oder [mm] f^{-} [/mm] =0. Das heißt [mm] f^{+} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] können sich nie aufheben, also [mm] f^{+} [/mm] - [mm] f^{-} \not= [/mm] 0, wenn [mm] f^{+} \not= [/mm] 0 oder wenn [mm] f^{-} \not= [/mm] 0.
Damit macht die Zerlegung wieder Sinn und man kann die einzelnen Funktionen wieder einzeln betrachten.
PS: Es heißt in der Aufgabe 1 f'(x) [mm] \ge [/mm] 0. Hatte mich leider vertippt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Di 13.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Für ein fixiertes x ist immer entweder [mm]f^{+}[/mm] oder [mm]f^{-}[/mm] =0.
Oder beide.
> Das heißt [mm]f^{+}[/mm] und [mm]f^{-}[/mm] können sich nie aufheben, also
> [mm]f^{+}[/mm] - [mm]f^{-} \not=[/mm] 0, wenn [mm]f^{+} \not=[/mm] 0 oder wenn [mm]f^{-} \not=[/mm]
> 0.
Na und? Du hast f in seinen Positiv- und seinen Negativteil zerlegt. Das kann man immer machen.
> Damit macht die Zerlegung wieder Sinn und man kann die
> einzelnen Funktionen wieder einzeln betrachten.
Hast du aber nicht wirklich. Und a priori bringt das einem auch nichts.
> PS: Es heißt in der Aufgabe 1 f'(x) [mm]\ge[/mm] 0. Hatte mich
> leider vertippt.
Sicher [m]f'[/m], also die Ableitung? Dann ist die Aufgabe offensichtlich falsch, es muss schon f selber nicht negativ sein.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:17 Di 13.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es sei A := [mm]\{f > 0\}[/mm] und [mm]A_n[/mm] := [mm]\{f>1/n\}.[/mm] Dann
> konvergiert [mm]A_n[/mm] gegen A für n gegen [mm]\infty.[/mm]
>
> OBdA sei f nicht negativ (betrachte ansonsten f= [mm]f^{+}[/mm] -
> [mm]f^{-}).[/mm]
Lass das OBdA mal weg, dann hast du eine Loesung fuer die erste Aufgabe.
LG Felix
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:07 Di 13.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> OBdA sei f nicht negativ (betrachte ansonsten f= [mm]f^{+}[/mm] -
> [mm]f^{-}).[/mm]
Bitte? Du zerlegst f in Positiv- und Negativteil. Wieso bleibt dann die geforderte Eigenschaft erhalten? Das ist überhaupt nicht klar, wieso du hier [m]f\ge 0[/m] annehmen darfst. Wieso kann es nicht sein, dass die Eigenschaft verloren geht, wenn man die Teile getrennt betrachtet? Hier muss man wohl einfach mehr über Eigenschaften des Lebesque-Maßes reinstecken, als du es hier getan hast - es gibt durchaus Mengen, deren Maß größer als 0 ist, die aber kein Intervall enthalten. Wieso können [m]\{f>0\}[/m] und [m]\{f<0\}[/m] nicht zwei solche Mengen sein, die so geschickt nebeneinander liegen, das trotzdem [m]\int_I f = 0[/m] ist für jedes Intervall I?
Der Rest deiner Lösung ist wirklich nur eine Lösung für die 1. Aufgabe. Imo ist das hier kein Lösungsansatz für die 2. Aufgabe. Leider fehlen mir noch Ideen, sie richtig zu lösen. Welche passenden Sätze habt ihr denn gemacht?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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