www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Lebesgue Messbarkeit
Lebesgue Messbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lebesgue Messbarkeit: Korrektur
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:29 Fr 12.06.2020
Autor: TS85

Aufgabe
1.) z.z., dass für 2 Lebesgue-m.b. Fkt. f und g die Menge [mm] \{x:f(x) \not= g(x)\} [/mm] in [mm] \mathcal{L}(\IR) [/mm] liegt.

2.)Beispiel einer Lebesgue-m.b. Funktion f: [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] sodass
keine stetige Funktion g: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] existiert mit [mm] \mu_L( \{x:f(x) \not= g(x)\})=0. [/mm] Begründung.





Zur 1.)

Falls f(x) [mm] \not= [/mm] g(x): [mm] \exists [/mm] r [mm] \in \IQ [/mm] mit f(x)<r<g(x) [mm] \vee [/mm] f(x)>r>g(x).
Sei dazu [mm] X=\bigcup_{r \in \IQ}\underbrace{\{x: g(x) X ist damit als abz. Vereinigung wieder messbar.
Da X=Y (Nachweis? Wenn ja Wie?) gilt, folgt die Leb.-Messbarkeit für
[mm] \{x:g(x)f(x)\}, [/mm] woraus die Behauptung folgt.

zur 2.)
Bekannt wäre mir nur der Fall, dass [mm] \underline{eine} [/mm] stetige Fkt existiert, zum Beispiel:

[mm] f(x)=\begin{cases} 1, x \in \IQ \\ e^x, x \notin \IQ \end{cases} [/mm]
[mm] g(x)=e^x [/mm]
mit Nullmenge [mm] N=\{f \not= g\}=\IQ [/mm]
mit [mm] \mu_L(N)=0. [/mm]

Die Formulierung ist mir hier auch etwas wage. Man soll also eine
Funktion f finden zu der jede stetige Fkt. g zu [mm] \mu_L(\{x:f(x) \not= g(x)\})>0 [/mm] führt. D.h. die Menge der x muss schonmal überabzählbar sein, da
dass Lebesgue-Maß vorliegt.

Ich schlussfolgere hieraus, dass f vermutlich keine stetige Funktion sein wird,
da andernfalls immer einfach die gleiche Funktion g gewählt werden könnte.

Ich würde nun bspw.
[mm] f(x)=\begin{cases}0, x \in (\IR\cap[0,0.5])\setminus \IQ\\ 1, x \in (\IR\cap[0.5,1.0]) \setminus\IQ \\2, x \in \IQ \end{cases} [/mm]
setzen, wodurch ich (zumindest) keine
stetige Funktion an der Sprungstelle bei 0.5 finden würde,
d.h. bei g(x)=0
wäre [mm] \mu_L((\IR\cap [/mm] [0.5,1.0]) [mm] \setminus\IQ)=\mu_L(\{x:f(x) \not= g(x)\})>0. [/mm]

Welche Fehler begehe ich in der gesamten Aufgabe?

(Edit: Bereits Fehler des Definitionsbereiches geändert, für Lösungsansatz allerdings erstmal unrelevant; auch habe ich bereits festgestellt, dass
der 3.Fall nicht wirklich mehr Erkenntnis bringt)

Gruß


        
Bezug
Lebesgue Messbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:06 Sa 13.06.2020
Autor: TS85

Die Frage hat sich mittlerweile erledigt.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]