Lebesgue-Nullmenge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 14.12.2016 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Bitte beantworten Sie die nachstehende Fragen bezüglich Lebesgue-Nullmengen in
[mm] R^d
[/mm]
Bitte beweisen Sie dabei Ihre Antwort oder geben Sie ein wi-
derlegendes Gegenbeispiel an
Sei A [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] eine beliebige Teilmenge von [mm] \mathbb{R}. [/mm] Ist dann A [mm] \times [/mm] {0} eine Nullmenge in [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] |
Hallo liebes Forum,
dies war eine Aufgabe aus meinem Kurs. Ich hatte hier recht kurz so argumentiert:
Die Menge ( A [mm] \times [/mm] {0}) ist im Allgmeinen keine Lebesgue-Nullmenge.
Sei A eine nicht [mm] \lambda_1 [/mm] - messbare Menge (diese existiert nach Skript). Dann ist gilt für die Menge [mm] \lambda_2 [/mm] ( A [mm] \times [/mm] {0}) = [mm] \lambda_1(A) \cdot \lambda_1( [/mm] {0} )
Da [mm] \lambda_1(A) [/mm] nicht messbar ist, kann [mm] \lambda_2 [/mm] ( A [mm] \times [/mm] {0}) auch keine Nullmenge sein.
Dieser Ansatz wurde mit Null Punkten geahndet, die Musterlösung löst die Aufgabe so, dass ( A [mm] \times [/mm] {0}) immer eine Lebesgue-Nullmenge ist. Den Beweis kann ich allerdings auch nicht ganz nachvollziehen an dem Punkt...
Die Kursbetreuung reagiert leider nicht auf Rückfragen, aber vielleicht kann mir hier jemand erläutern, warum ( A [mm] \times [/mm] {0}) auch bei nicht-messbarem A eine Lebesguenullmenge ist?
VG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mi 14.12.2016 | | Autor: | fred97 |
Es gilt: ist B eine Lebesque-Nullmenge und C eine Teilmenge von B, so ist auch C eine Lebesgue - Nullmenge
A x {0} ist Teilmenge von [mm] \IR [/mm] x {0}.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 14.12.2016 | | Autor: | Stala |
Hallo Fred,
dane für die schnelle Reaktion. Dies klingt plausibel, steht aber im klaren Widerspruch zu dem in der Vorlesung geführten Beweis, dass es Mengen in [mm] \mathbb{R}^d [/mm] gibt, die nicht lebesgue-messbar sind.
Es wurde wie folgt bewiesen. Zunächst wird die Existenz einer Menge M bewiesen, die nicht [mm] \lambda_1 [/mm] -messbar ist. Soweit so klar. dann geht es wörtlich weiter:
Schritt 4:
Wir haben damit gezeigt, dass es eine Menge M [mm] \in \mathbb{R} [/mm] gibt, die nicht [mm] \lambda_1-messbar [/mm] ist. Durch [mm] \tilde{M} [/mm] = M [mm] \times \{0\}^{d-1} [/mm] wird eine Menge [mm] \tilde{M} \in \mathbb{R}^d [/mm] definiert, die nicht [mm] \lambda_d [/mm] messbar ist.
Das sieht man so: Wäre [mm] \tilde{M} [/mm] nämlich [mm] \lambda_d [/mm] messbar, dann würde [mm] \lambda_d (\tilde{M} [/mm] ) = [mm] \lambda_1 [/mm] (M) [mm] \cdot \produkt_{i=1}^{d-1} \lambda_1( [/mm] {0} ) gelten. Aber M ist nicht messbar.
Es wird noch weiter ausgeführt:
Wir definieren die Abbildung g : [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}^d [/mm] durch g(x) = (x,0,0...0). Dann ist die Menge M = [mm] g^{-1} [/mm] (M [mm] \times \mathbb{R}^{d-1}) [/mm] Wäre nun M [mm] \times \mathbb{R}^{d-1} \lambda_d [/mm] messbar, dann müsste die Menge Menge M wegen der Messbarkeit von g [mm] \lambda_1 [/mm] messbar sein.
Eigentlich hab ich ja bei meiner lÖsung dies nur für den Fall d=2 übernommen, deswegen da gar nicht wieter drüber nachgedacht...
Gilt deine Aussage nicht nur auf der Sigmaalgebra [mm] \mathcal{A}_{\lambda_d}, [/mm] also der Vervollständigung der Borel-schen Sigmalagebra? Nach Voraussetzung ist A [mm] \notin \mathcal{A}_{\lambda_d}
[/mm]
VG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 14.12.2016 | | Autor: | fred97 |
Ist eine Menge in einer lebesgue-messbaren Menge mit Lebesgue-Maß 0 enthalten, so heisst sie Lebesgue-Nullmenge. Sie selbst muss nicht messbar sein. Sie hat aber das äußere Lebesgue-Maß 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mi 14.12.2016 | | Autor: | Stala |
Hallo,
dazu habe ich dann leider aber noch eine Nachfrage:
( [mm] \mathbb{R}^d, \mathcal{A}_{\lambda_d}, \lambda_d [/mm] ) ist der Maßraum aller lebesguemessbaren Mengen und dem Lebesguemaß. Dieser ist ja nach Konstruktion vollständig, das bedeutet:
Sei N [mm] \in \mathcal{A}_{\lambda_d} [/mm] eine Menge mit [mm] \lambda_d [/mm] (N) = 0 und [mm] \tilde{N} \subset [/mm] N, dann folgt, dass [mm] \tilde{N} \in \mathcal{A}_{\lambda_d}
[/mm]
Das ist ja die Definition eines vollständigen Maßraums. Sei A [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] wieder nicht [mm] \lambda_1 [/mm] messbar. Da ja [mm] \mathbb{R} \times \{ 0 \} [/mm] eine Nullmenge ist (klar)und A [mm] \times \{ 0 \} \subset \mathbb{R} \times \{ 0 \} [/mm] gilt (auch klar), folgt, dass A [mm] \times \{ 0 \} \in \mathcal{A}_{\lambda_2}
[/mm]
Richtig?
Ist das dann aber nicht ein Widerpsruch zu dem im Skript geführten Beweis, der gerade zeigen soll, dass A [mm] \times \{ 0 \} \notin \mathcal{A}_{\lambda_2}?
[/mm]
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Hiho,
> Das ist ja die Definition eines vollständigen Maßraums.
bis hierhin war es ok.
> Sei A [mm]\subset \mathbb{R}[/mm] wieder nicht [mm]\lambda_1[/mm] messbar. Da ja [mm]\mathbb{R} \times \{ 0 \}[/mm] eine Nullmenge ist (klar)und A [mm]\times \{ 0 \} \subset \mathbb{R} \times \{ 0 \}[/mm] gilt
> (auch klar), folgt, dass A [mm]\times \{ 0 \} \in \mathcal{A}_{\lambda_2}[/mm]
>
> Richtig?
Korrekt.
>
> Ist das dann aber nicht ein Widerpsruch zu dem im Skript geführten Beweis, der gerade zeigen soll, dass A [mm]\times \{ 0 \} \notin \mathcal{A}_{\lambda_2}?[/mm]
Korrekt, ich zitiere mal deinen angegebenen Beweis.
> Schritt 4:
> Wir haben damit gezeigt, dass es eine Menge M $ [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $ gibt, die nicht $ [mm] \lambda_1-messbar [/mm] $ ist. Durch $ [mm] \tilde{M} [/mm] $ = M $ [mm] \times \{0\}^{d-1} [/mm] $ wird eine Menge $ [mm] \tilde{M} \in \mathbb{R}^d [/mm] $ definiert, die nicht $ [mm] \lambda_d [/mm] $ messbar ist.
Sofern mit [mm] $\lambda_d$ [/mm] wirklich das Lebesgue-Maß gemeint ist, ist die Aussage schlicht falsch.
Allerdings gibt es die (unsaubere) Notation mit [mm] $\lambda_d$ [/mm] sowohl das Borel-Maß als auch das Lebesgue-Maß zu bezeichnen.
Das nennt man dann gemeinhin "Borel-Lebesgue-Maß", weil beide Maße auf den Borel-meßbaren Mengen trivialerweise übereinstimmen, da die Lebesgue-Sigma-Algebra nur die Vervollständigung der Borel-Sigma-Algebra ist.
Ich würde jetzt mal vermuten, dass ihr nur Borel-Mengen betrachtet habt, da stimmt nämlich die Aussage:
> Das sieht man so: Wäre $ [mm] \tilde{M} [/mm] $ nämlich $ [mm] \lambda_d [/mm] $ messbar, dann würde $ [mm] \lambda_d (\tilde{M} [/mm] $ ) = $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ (M) $ [mm] \cdot \produkt_{i=1}^{d-1} \lambda_1( [/mm] $ {0} ) gelten. Aber M ist nicht messbar.
Die Produktregel oben gilt wegen obigem eben für die Lebesgue-Sigma-Algebra gerade nicht…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Fr 16.12.2016 | | Autor: | Stala |
Vielen Dank!
Ziel des Beweises war es eigentlich zu zeigen, dass eine Menge M [mm] \in \mathbb{R}^d [/mm] existiert, die nicht zur Lebesgue-Sigmalagebra [mm] \mathcal{A}_{\lambda_d} [/mm] gehört. Das hat man damit ja dann nicht gezeigt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Sa 17.12.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ziel des Beweises war es eigentlich zu zeigen, dass eine
> Menge M [mm]\in \mathbb{R}^d[/mm] existiert, die nicht zur
> Lebesgue-Sigmalagebra [mm]\mathcal{A}_{\lambda_d}[/mm] gehört. Das
> hat man damit ja dann nicht gezeigt ;)
korrekt.
Aber eine Frage hab ich doch noch: Ich kenne die Bezeichnung von [mm]\mathcal{A}_{\lambda_d}[/mm] eigentlich nur aus der Maßerweiterung nach Caratheodory. Habt ihr [mm]\mathcal{A}_{\lambda_d}[/mm] darüber konstruiert oder anders?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Sa 17.12.2016 | | Autor: | Stala |
Hiho,
hm, auf jeden Fall war es ein weiter Weg bis zum Maß... der Name Caratheodory ist nicht gefallen
Angefangen vom Inhalt/Prämaß auf einem Halbring, über den erzeugten Ring und der Erweiterung des Inhalts /Prämaß auf den Ring.
Dan die vom Ring erzeugte Sigmalagebra und die Erweiterung des Prämaßes zu einem äußerens Maß auf der Potenzmenge. Der zentrale Satz der Maßerweiterung war dann:
Ist [mm] \mu [/mm] ein Prämaß auf einem Ring [mm] \mathcal{R} [/mm] und [mm] \mu [/mm] * das äußere Maß von [mm] \mu, [/mm] dann ist die Menge [mm] \mathcal{A}_{\mu} [/mm] der [mm] \mu-messbaren [/mm] Mengen eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra und die Einschränkung von [mm] \mu [/mm] * auf [mm] \mathcal{A}_{\mu} [/mm] ein Maß.
Das Ganze dann noch für das Volumen (Borel und Lebesgue) und Produktmengen(funktionen) nachvollzogen und festgestellt, dass [mm] \mathcal{A}_{\mu} [/mm] vollständig ist und die Sigmaalgebra über dem Ring [mm] \mathcal{R} [/mm] enthält.
Warum? Ist der Weg von Bedeutung? ;)
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> Hallo Fred,
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> dane für die schnelle Reaktion. Dies klingt plausibel,
> steht aber im klaren Widerspruch zu dem in der Vorlesung
> geführten Beweis, dass es Mengen in [mm]\mathbb{R}^d[/mm] gibt, die
> nicht lebesgue-messbar sind.
>
Hallo,
Freds Argumentation ist korrekt.
> Es wurde wie folgt bewiesen. Zunächst wird die Existenz
> einer Menge M bewiesen, die nicht [mm]\lambda_1[/mm] -messbar ist.
> Soweit so klar. dann geht es wörtlich weiter:
>
> Schritt 4:
> Wir haben damit gezeigt, dass es eine Menge M [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> gibt, die nicht [mm]\lambda_1-messbar[/mm] ist. Durch [mm]\tilde{M}[/mm] = M
> [mm]\times \{0\}^{d-1}[/mm] wird eine Menge [mm]\tilde{M} \in \mathbb{R}^d[/mm]
> definiert, die nicht [mm]\lambda_d[/mm] messbar ist.
>
> Das sieht man so: Wäre [mm]\tilde{M}[/mm] nämlich [mm]\lambda_d[/mm]
> messbar, dann würde [mm]\lambda_d (\tilde{M}[/mm] ) = [mm]\lambda_1[/mm] (M)
> [mm]\cdot \produkt_{i=1}^{d-1} \lambda_1([/mm] {0} ) gelten. Aber M
> ist nicht messbar.
Wenn der Beweis so geführt wurde, ist er fehlerhaft. Es müsste statt [mm]\{0\}[/mm] eine Teilmenge [mm]B\subset\mathbb{R}[/mm] mit positivem Maß betrachtet werden.
>
> Es wird noch weiter ausgeführt:
> Wir definieren die Abbildung g : [mm]\mathbb{R} \to \mathbb{R}^d[/mm]
> durch g(x) = (x,0,0...0). Dann ist die Menge M = [mm]g^{-1}[/mm] (M
> [mm]\times \mathbb{R}^{d-1})[/mm] Wäre nun M [mm]\times \mathbb{R}^{d-1} \lambda_d[/mm]
> messbar, dann müsste die Menge Menge M wegen der
> Messbarkeit von g [mm]\lambda_1[/mm] messbar sein.
Auf die Weise könnte man zeigen, dass [mm]M\times\mathbb{R}^{d-1}[/mm] nicht Borel-messbar ist. Der Knackpunkt ist aber, dass die Abbidung g nicht messbar bezüglich der Lebesgue-Sigma-Algebra ist.
>
> Eigentlich hab ich ja bei meiner lÖsung dies nur für den
> Fall d=2 übernommen, deswegen da gar nicht wieter drüber
> nachgedacht...
>
> Gilt deine Aussage nicht nur auf der Sigmaalgebra
> [mm]\mathcal{A}_{\lambda_d},[/mm] also der Vervollständigung der
> Borel-schen Sigmalagebra? Nach Voraussetzung ist A [mm]\notin \mathcal{A}_{\lambda_d}[/mm]
>
>
>
> VG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Do 15.12.2016 | | Autor: | Stala |
Super !
Vielen vielen Dank!
der Beweis wurde tatsächlich wörtlich so geführt. Wenn dies der Fehler ist, dann lösen sich auch die ganzen Widersprüche in meinem Kopf auf :)
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Maßerweiterungssatz von Caratheodory
