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| Aufgabe | Wie jedes Jahr im Frühling, wenn das Wetter schön ist, stehen Fahrradtouren hoch im Kurs. Erfahrungsgemäß empfiehlt es sich bei längeren Touren, einen Ersatzschlauch mitzunehmen, um nicht beim ersten Platten gleich die Tour abbrechen zu müssen.
Berechnen Sie unter der Annahme, daß die Lebensdauer [mm] X_i [/mm] , [mm] i \in \{1,2,3 \} [/mm], der drei Schläuche unabhängig voneinander exponetialverteilt mit Parameter [mm] a > 0 [/mm] sind, folgende Größen:
a.) Die Verteilungsfunktion der "Lebensdauer" [mm] L [/mm] des Fahrrades, d.h. des Zeitpunktes, zu dem eine zweite Reparatur fällig ist. Zeigen Sie, daß [mm] L [/mm] eine Erlangverteilung [mm] \Gamma (\bruch{a}{2},2) [/mm] besitzt. |
Hallo,
also ich interpretiere das als eine bedingte Wahrscheinlichkeit [mm] P( A|B) [/mm].
Dabei ist [mm] P(A|B) := \bruch{P(A \cap B)}{P(B)} [/mm] mit [mm] A [/mm] = "der zweite Schlauch platzt" und [mm] B [/mm] = "der erste Schlauch platzt"
Aufgrund der Unabhängigkeit sollte doch gelten [mm] P(A) = P(B) [/mm] ?
Also [mm] P(A|B) = \bruch{P(A \cap B)}{P(B)} = \bruch{P(A) * P(B)}{P(B)} = P(A) [/mm].
Und [mm] P(A) = P( \min_{1 \le i \le 2} X_i \le x ) = P( \bigcup_{i=1}^{2}\{X_i \le x \} ) = 1 - P(\bigcap_{i=1}^{2} \{X_i > x \} ) = 1 - \produkt_{i=1}^{2}P(X_i > x) = 1 - \produkt_{i=1}^{2}(1-P(X_i \le x) ) = 1 - [(1-(1-e^{\bruch{-x}{a}}))*(1-(1-e^{\bruch{-x}{a}}))] = 1- e^{\bruch{-2*x}{a}} [/mm]
Aber das ist, denke ich, nicht die Erlangverteilung!
Kann mir bitte jemand helfen?
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mo 26.07.2010 | | Autor: | wauwau |
Tipp:
du musst die Verteilung der Summe beider Zufallsvariablen(ZV) berechnen
[mm] $X_1$ [/mm] ZV = Lebensdauer des ersten Schlauches
[mm] $X_2$ [/mm] ZV = Lebensdauer des zweiten Schlauchs
[mm] $P(X_i \le [/mm] t)$ ist exponentialverteilt...
du benötigst
[mm] $P(X_1+X_2 \le [/mm] t) $
Hinweis: Faltung von Verteilungen!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 26.07.2010 | | Autor: | luis52 |
> du benötigst
> [mm]P(X_1+X_2 \le t)[/mm]
>
> Hinweis: Faltung von Verteilungen!!!
In Ergaenzung zu Werner:
Hinweis: Momenterzeugende/charakteristische Funktion
vg Luis
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Okay, danke.
Also zum Zeitpuntk dieser Aufgabe hatten wir die charakteristische Funktion noch nicht.
Aber wenn ich wirklich "nur" $ [mm] P(X_1+X_2 \le [/mm] t) $ bestimmen muss, dann hilft mir ein Satz, den wir haben:
[mm] P^{\summe_{i=1}^{n}X_i}= \Gamma(a,n) [/mm] , falls die [mm] X_i [/mm] unabhängig [mm] E(a) [/mm] verteilt sind.
Also sollte [mm] P(X_1+X_2 \le t) = \bruch{1}{a^2 * 2}*t*e^{\bruch{-t}{a}} [/mm] sein.
Aber das kann doch nicht richtig sein, denn [mm] \Gamma(a,n) \not= \Gamma(\bruch{a}{2},n) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 26.07.2010 | | Autor: | luis52 |
> Aber das kann doch nicht richtig sein, denn [mm]\Gamma(a,n) \not= \Gamma(\bruch{a}{2},n)[/mm]
> ?
Moin,
vielleicht ![[]](/images/popup.gif) Gleichung (5) weiter.
vg Luis
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Okay, jetzt herrscht hier Verwirrung.
Also nach Wiki ist die Summe von [mm] n [/mm] identisch [mm] E(a) [/mm]- verteilten, unabhänigen ZV´s [mm] Erl(a,n) [/mm]-verteilt.
Also gilt mit oben genannter Gleichung (5):
[mm] P(X_1+X_2 \le t ) = Erl(a,2) = \Gamma(a,\bruch{1}{2*a}) [/mm]
Aber, wir haben einen Satz, der besagt, das die Summe von [mm] n [/mm] identisch [mm] E(a) [/mm]- verteilten, unabhänigen ZV´s [mm] \Gamma(a,n) [/mm]-verteilt ist und wir dies Erlangverteilung nennen.
Also, wieder mit Gleichung (5):
[mm] P(X_1+X_2 \le t ) = \Gamma(a,2) = Erl(a,\bruch{1}{4}) [/mm]
Ich kann mir nur so helfen, dass das [mm] \Gamma [/mm] in unserem Satz, eben nicht der Gammafkt. entspricht, das also ein Notationsproblem ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Do 29.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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