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| Aufgabe | [mm] f(z)=\bruch{1}{(z-i)^3}
[/mm]
f soll im Punkt [mm] z_0=1+i [/mm] in eine in |z-(1+i)|>1 konvergente Reihe entwickelt werden.
Von welchem Typ ist die Singularität von f(z) in z=i?
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Hallo,
entwickelt man die Funktion in eine Laurentreihe mithilfe der äußeren Entwicklung, so erhält man...
[mm] f(z)=\bruch{1}{2}\summe_{n=-\infty}^{-1}(-1)^{n+1}n(n-1)(z-(1+i))^{n-2}.
[/mm]
Diesen Hauptteil der Laurentreihe erhalte ich mit der äußeren Entwicklung von [mm] g(z)=\bruch{1}{z-i} [/mm] und zweimaliger Ableitung dieser Reihe und Multiplikation mit [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] da [mm] f(z)=\bruch{1}{2}g''(z).
[/mm]
Nun sind unendliche viele der Parameter [mm] c_n [/mm] des Hauptteils [mm] \summe_{n=-\infty}^{-1}c_n (z-z_0)^n [/mm] ungleich Null. Deshalb muss es sich ja um eine wesentliche Singularität handeln.
Ich kann mir das nicht vorstellen, da ich ausgehend von der Funktion einen Pol 3. Ordnung erwartet hatte. Wer kann mir meinen Denkfehler erklären?
Kann es sein, dass diese Parameterregel mit den [mm] c_n [/mm] nur angewendet werden kann, wenn der Entwicklungspunkt [mm] z_0 [/mm] gleichzeitig die Singularität ist?
Auf welche Weise kann man dann die Tatsache interpretieren, dass der Hauptteil der oberen Reihe um den Entwicklungspunkt [mm] z_0=1+i [/mm] unendliche viele Komponenten enthält?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Sa 16.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f(z)=\bruch{1}{(z-i)^3}[/mm]
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> f soll im Punkt [mm]z_0=1+i[/mm] in eine in |z-(1+i)|>1 konvergente
> Reihe entwickelt werden.
>
> Von welchem Typ ist die Singularität von f(z) in z=i?
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> Hallo,
>
> entwickelt man die Funktion in eine Laurentreihe mithilfe
> der äußeren Entwicklung, so erhält man...
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2}\summe_{n=-\infty}^{-1}(-1)^{n+1}n(n-1)(z-(1+i))^{n-2}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Diesen Hauptteil der Laurentreihe erhalte ich mit der
> äußeren Entwicklung von [mm]g(z)=\bruch{1}{z-i}[/mm] und zweimaliger
> Ableitung dieser Reihe und Multiplikation mit [mm]\bruch{1}{2},[/mm]
> da [mm]f(z)=\bruch{1}{2}g''(z).[/mm]
>
> Nun sind unendliche viele der Parameter [mm]c_n[/mm] des Hauptteils
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{-1}c_n (z-z_0)^n[/mm] ungleich Null. Deshalb
> muss es sich ja um eine wesentliche Singularität handeln.
>
> Ich kann mir das nicht vorstellen, da ich ausgehend von der
> Funktion einen Pol 3. Ordnung erwartet hatte. Wer kann mir
> meinen Denkfehler erklären?
> Kann es sein, dass diese Parameterregel mit den [mm]c_n[/mm] nur
> angewendet werden kann, wenn der Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm]
> gleichzeitig die Singularität ist?
Das ist in der Tat der Fall. Die Funktion hat einen Pol 3. Ordnung in $i$, denn
$ [mm] \lim_{z\rightarrow i} (z-i)^3 [/mm] f(z) = 1$
> Auf welche Weise kann man dann die Tatsache interpretieren,
> dass der Hauptteil der oberen Reihe um den
> Entwicklungspunkt [mm]z_0=1+i[/mm] unendliche viele Komponenten
> enthält?
Gar nicht. Dein Fehler ist, dass du meinst, der Hauptteil habe immer negative Potenzen von [mm] $(z-z_0)$. [/mm] Das ist richtig, wenn man die Laurententwicklung in einem Ring um eine isolierte Singularität [mm] $z_0$ [/mm] betrachtet, also in $ [mm] 0<|z-z_0|
Das ist hier nicht der Fall.
Im vorliegenden Fall betrachtest du aber Potenzen von [mm] $\bruch{1}{z-z_0}$, [/mm] also den Kreisring
$ 0 < [mm] \left| \bruch{1}{z-z_0}\right| [/mm] < R$
oder eben [mm] $|z-z_0|> \bruch{1}{R}$.
[/mm]
Es kommen in der Entwicklung nur positive Potenzen von [mm] $\bruch{1}{z-z_0}$ [/mm] vor, also ist der Hauptteil 0. Das ist plausibel, denn im angegebenen Gebiet $|z-(1+i)|>1$ hat die Funktion $f(z)$ keine Singularität.
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
danke für die Antwort. Allerdings ist mir etwas noch nicht klar:
[mm] f(z)=\summe_{n=-\infty}^{-1} c_n (z-z_0)^n [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n
[/mm]
ist ja die Laurentreihe, wobei die erste Summe der Hauptteil und die zweite der Nebenteil ist.
In meiner Aufgabe ist nach der Entwicklung von f(z) eben gerade der Hauptteil ungleich Null. Du verwendest den Trick, statt [mm] z-z_0 [/mm] einfach [mm] \bruch{1}{z-z_0} [/mm] zu betrachten, dadurch vertauschst du ja im Prinzip Haupt- und Nebenteil.
Das verwirrt mich allerdings, denn auf diese Weise könnte ich schließlich stets Haupt- und Nebenteil miteinander vertauschen.
Meine Aufgabe stammt übrigens aus dem Buch "Das gelbe Rechenbuch 3", von Peter Furlan. Dort wird die Funktion letztlich durch einen Hauptteil dargestellt.
Da, wie du auch sagst, außerhalb des Kreises keine Singularität liegt, würde ich eben erwarten, dass der Hauptteil verschwindet. Da dies nicht passiert, weiß ich nicht, wie ich das Ergebnis interpretieren kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 So 17.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke für die Antwort. Allerdings ist mir etwas noch nicht
> klar:
>
> [mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{-1} c_n (z-z_0)^n[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n[/mm]
>
> ist ja die Laurentreihe, wobei die erste Summe der
> Hauptteil und die zweite der Nebenteil ist.
>
> In meiner Aufgabe ist nach der Entwicklung von f(z) eben
> gerade der Hauptteil ungleich Null. Du verwendest den
> Trick, statt [mm]z-z_0[/mm] einfach [mm]\bruch{1}{z-z_0}[/mm] zu betrachten,
> dadurch vertauschst du ja im Prinzip Haupt- und Nebenteil.
>
> Das verwirrt mich allerdings, denn auf diese Weise könnte
> ich schließlich stets Haupt- und Nebenteil miteinander
> vertauschen.
Das geht nur deswegen, weil es um ein Gebiet außerhalb eines Kreises geht, also sozusagen um einen Kreisring um Unendlich. Das ist aber hier der Fall. Ginge es um das Gebiet $|z-(1+i)|<1$, kanst du das nicht machen, dann sieht aber die Laurententwicklung auch anders aus: sie hat nur positive Potenzen von $z-(1+i)$.
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
okay, danke für die Antwort. Ich war heute bei meinem Prof wegen der Prüfungsanmeldung, und er hat mir das so ähnlich auch erklärt. Hier ist wirklich der Spezialfall eines Kreisrings zwischen den Kreisen mit Radius r=1 und [mm] R=\infty [/mm] um den Entwicklungspunkt [mm] z_0=1+i.
[/mm]
Eine Frage habe ich dann aber noch. Da ja die Potenzreihe P(z) im gesamten Kreisring keine Singularitäten besitzt, würde mich dann das Verhalten der Funktionswerte dieser Reihe um die Singularität z=i am Rand des Kreisringes interessieren.
Ganz allgemein: Da jede Potenzreihe zu einer Funktion f (um einen festen Entwicklungspunkt z* herum) eindeutig bestimmt ist, kann man dann sagen, dass für alle w [mm] \in \IC, [/mm] und für jeden fest gewählten Entwicklungspunkt z* [mm] \in \IC [/mm] gilt:
f(w)=P(w)?
Für meine erste Frage würde das implizieren, dass die Potenzreihe sich um die Singularität [mm] z_0=i [/mm] herum ebenso verhält wie die Funktion f, also wie bei einer Singularität dritten Grades!?
Und das, obwohl die entsprechende Potenzreihe unendlich viele Summanden im Hauptteil besitzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 18.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
>
> okay, danke für die Antwort. Ich war heute bei meinem Prof
> wegen der Prüfungsanmeldung, und er hat mir das so ähnlich
> auch erklärt. Hier ist wirklich der Spezialfall eines
> Kreisrings zwischen den Kreisen mit Radius r=1 und [mm]R=\infty[/mm]
> um den Entwicklungspunkt [mm]z_0=1+i.[/mm]
>
> Eine Frage habe ich dann aber noch. Da ja die Potenzreihe
> P(z) im gesamten Kreisring keine Singularitäten besitzt,
> würde mich dann das Verhalten der Funktionswerte dieser
> Reihe um die Singularität z=i am Rand des Kreisringes
> interessieren.
>
> Ganz allgemein: Da jede Potenzreihe zu einer Funktion f (um
> einen festen Entwicklungspunkt z* herum) eindeutig bestimmt
> ist, kann man dann sagen, dass für alle w [mm]\in \IC,[/mm] und für
> jeden fest gewählten Entwicklungspunkt z* [mm]\in \IC[/mm] gilt:
>
> f(w)=P(w)?
Nicht ganz: dies gilt nicht für alle [mm] $w\in\IC$, [/mm] sondern nur für solche [mm] $w\in\IC$, [/mm] für die die Potenzreihe konvergiert.
> Für meine erste Frage würde das implizieren, dass die
> Potenzreihe sich um die Singularität [mm]z_0=i[/mm] herum ebenso
> verhält wie die Funktion f, also wie bei einer Singularität
> dritten Grades!?
Nein, denn sie konvergiert nur außerhalb des Kreises $|z-1-i|=1$, also selbst in einer beliebig kleinen Umgebung von [mm] $z_0=i$ [/mm] konvergiert sie nicht (zum Beispiel nicht wenn [mm] $\mathrm{Re} [/mm] z>0$ ist).
Viele Grüße
Rainer
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