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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
| Aufgabe | | Entwickeln sie [mm] \bruch{1}{z(z-1)(z-2)} [/mm] in eine Laurentreihe auf [mm] \{z \in \IC | 2<|z|< \infty \}. [/mm] |
Ich habe diese Aufgabe wie ich hoffe gelöst. Bin mir aber recht unsicher, daher wäre es nett, wenn jemand sagen kann, ob meine Lösung richtig ist, dabei sind Rechnenfehler egal mir geht es darum ob es im Prinzip richtig ist.
Zuerst habe ich die Funktion mir Partialbruchzerlegung zerlegt und dann einzeln behandelt. Dabei erhalte ich:
bruch{1}{2z} [mm] -\bruch{1}{z-1}+\bruch{1}{2(z-2)}.
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2z} [/mm] ist ja schon eine Laurentreihe um Null, bei den anderen Termen habe ich dann z aus dem Nenner ausgeklammer und es dann so geschrieben, dass ich es als Grenzwert einer geometrischen Reihe schreiben kann. Um dann die Reihe zu erhalten, habe ich dann einfach die einzelnen Koeffizienten addiert und habe so erhalten:
[mm] a_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \ge 0 \\ 0,5-1+0,5, & \mbox{für } n=-1 \\ (-1)^n-(-2)^{-n}, & \mbox{für } n<-1 \end{cases}
[/mm]
Ich hoffe man kann alles verstehen und vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Di 16.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Entwickeln sie [mm]\bruch{1}{z(z-1)(z-2)}[/mm] in eine Laurentreihe
> auf [mm]\{z \in \IC | 2<|z|< \infty \}.[/mm]
> Ich habe diese
> Aufgabe wie ich hoffe gelöst. Bin mir aber recht unsicher,
> daher wäre es nett, wenn jemand sagen kann, ob meine Lösung
> richtig ist, dabei sind Rechnenfehler egal mir geht es
> darum ob es im Prinzip richtig ist.
Ok.
> Zuerst habe ich die Funktion mir Partialbruchzerlegung
> zerlegt und dann einzeln behandelt. Dabei erhalte ich:
> [mm]\bruch{1}{2z} -\bruch{1}{z-1}+\bruch{1}{2(z-2)}.[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2z}[/mm] ist ja schon eine Laurentreihe um Null, bei
> den anderen Termen habe ich dann z aus dem Nenner
> ausgeklammer und es dann so geschrieben, dass ich es als
> Grenzwert einer geometrischen Reihe schreiben kann.
Wie genau meinst du das? Meinst du sowas hier: [mm] $\frac{1}{z - 1} [/mm] = [mm] \frac{1}{z (1 - \frac{1}{z})} [/mm] = [mm] \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} [/mm] = [mm] \frac{1}{z} \cdot \sum_{k=0}^\infty z^{-k} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty z^{-k-1}$?
[/mm]
> Um dann
> die Reihe zu erhalten, habe ich dann einfach die einzelnen
> Koeffizienten addiert und habe so erhalten:
>
> [mm]a_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \ge 0 \\ 0,5-1+0,5, & \mbox{für } n=-1 \\ (-1)^n-(-2)^{-n}, & \mbox{für } n<-1 \end{cases}[/mm]
>
> Ich hoffe man kann alles verstehen und vielen Dank.
Wenn du das so gemacht hast (oder so aehnlich) wie ich das oben geschrieben hab, dann stimmts!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Di 16.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Felix
> Wie genau meinst du das? Meinst du sowas hier: [mm]\frac{1}{z - 1} = \frac{1}{z (1 - \frac{1}{z})} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} = \frac{1}{z} \cdot \sum_{k=0}^\infty z^{-k} = \sum_{k=0}^\infty z^{-k-1}[/mm]?
ja genau, was ich im Prinzip gemacht ist jeden der drei Terme einzeln in eine Laurent-Reihe entwickelt. Ich erhalte dann also drei Reihen (mit den Koeffizienten [mm] a^{(1)}_n, a^{(2)}_n [/mm] und [mm] a^{(3)}_n) [/mm] meine eigentlich Frage ist jetzt erhalte ich die Koeffizient der gesamten Reihe einfach als Summe der einzelnen also [mm] a_n=a^{(1)}_n+a^{(2)}_n+a^{(3)}_n?
[/mm]
Gruß
Frank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:32 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frank!
> > Wie genau meinst du das? Meinst du sowas hier: [mm]\frac{1}{z - 1} = \frac{1}{z (1 - \frac{1}{z})} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} = \frac{1}{z} \cdot \sum_{k=0}^\infty z^{-k} = \sum_{k=0}^\infty z^{-k-1}[/mm]?
>
> ja genau, was ich im Prinzip gemacht ist jeden der drei
> Terme einzeln in eine Laurent-Reihe entwickelt. Ich erhalte
> dann also drei Reihen (mit den Koeffizienten [mm]a^{(1)}_n, a^{(2)}_n[/mm]
> und [mm]a^{(3)}_n)[/mm] meine eigentlich Frage ist jetzt erhalte ich
> die Koeffizient der gesamten Reihe einfach als Summe der
> einzelnen also [mm]a_n=a^{(1)}_n+a^{(2)}_n+a^{(3)}_n?[/mm]
Genau!
LG Felix
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