Laplacetransformierte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
| Aufgabe | Berechnen Sie
a) die Laplacetransformierte zu der Zeitfunktion [mm] f(t)=e^{-at}*cos(\omega [/mm] t)
b) unter der Nutzung der Partialbruchzerlegung die Zeitfunktion zu der Laplacetransformierten [mm] F(s)=\bruch{s^2-8}{s(s-2)^2} [/mm] |
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{st}*e^{-at}*cos(\omega t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{e^{(s-a)t}*\bruch{1}{2}(e^{i \omega t}+e^{-i \omega t}) dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{(s-a+i \omega)t}+e^{(s-a-i \omega)t} dt}=\bruch{1}{2}*[\bruch{e^{(s-a+i \omega)t}}{s-a+i \omega}+\bruch{e^{(s-a-i \omega)t}}{e^{(s-a-i \omega)}}]_0^{\infty}
[/mm]
Wie soll ich an der Stelle weiterrechnen? Der Nenner darf nicht Null ergeben, allerdings weiß ich auch nicht mehr. Um einen Hinweis bin ich dankbar.
b) Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht. Soll ich die Laplacetransformation umkehren?
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> Berechnen Sie
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> a) die Laplacetransformierte zu der Zeitfunktion
> [mm]f(t)=e^{-at}*cos(\omega[/mm] t)
> b) unter der Nutzung der Partialbruchzerlegung die
> Zeitfunktion zu der Laplacetransformierten
> [mm]F(s)=\bruch{s^2-8}{s(s-2)^2}[/mm]
> a) [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{st}*e^{-at}*cos(\omega t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{e^{(s-a)t}*\bruch{1}{2}(e^{i \omega t}+e^{-i \omega t}) dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{(s-a+i \omega)t}+e^{(s-a-i \omega)t} dt}=\bruch{1}{2}*[\bruch{e^{(s-a+i \omega)t}}{s-a+i \omega}+\bruch{e^{(s-a-i \omega)t}}{e^{(s-a-i \omega)}}]_0^{\infty}[/mm]
>
> Wie soll ich an der Stelle weiterrechnen? Der Nenner darf
> nicht Null ergeben, allerdings weiß ich auch nicht mehr.
> Um einen Hinweis bin ich dankbar.
hallo,
die hintrafo lautet -st im exponenten.. da der nenner nicht von t abhängt wird er auch nicht null..
>
> b) Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht. Soll ich die
> Laplacetransformation umkehren?
oder die laplace korrespondenztabelle benutzen.. was verlangt ist, weiss ich jedoch nicht
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
> die hintrafo lautet -st im exponenten
Wieso?
Ok mein Fehler... Danke! D.h. es muss lauten:
$ [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st}\cdot{}e^{-at}\cdot{}cos(\omega t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{e^{(-s-a)t}\cdot{}\bruch{1}{2}(e^{i \omega t}+e^{-i \omega t}) dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{(-s-a+i \omega)t}+e^{(-s-a-i \omega)t} dt}=\bruch{1}{2}\cdot{}[\bruch{e^{(-s-a+i \omega)t}}{-s-a+i \omega}+\bruch{e^{(-s-a-i \omega)t}}{e^{(-s-a-i \omega)}}]_0^{\infty} [/mm] $
Das war's?
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> > die hintrafo lautet -st im exponenten
>
> Wieso?
>
> Ok mein Fehler... Danke! D.h. es muss lauten:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-st}\cdot{}e^{-at}\cdot{}cos(\omega t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{e^{(-s-a)t}\cdot{}\bruch{1}{2}(e^{i \omega t}+e^{-i \omega t}) dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{(-s-a+i \omega)t}+e^{(-s-a-i \omega)t} dt}=\bruch{1}{2}\cdot{}[\bruch{e^{(-s-a+i \omega)t}}{-s-a+i \omega}+\bruch{e^{(-s-a-i \omega)t}}{e^{(-s-a-i \omega)}}]_0^{\infty}[/mm]
>
> Das war's?
hallo,
der zweite nenner ist nicht korrekt. danach die einzelnen brüche konjugiert komplex erweitern und zusammenfassen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
>danach die einzelnen brüche konjugiert komplex erweitern und zusammenfassen
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st}\cdot{}e^{-at}\cdot{}cos(\omega t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{e^{(-s-a)t}\cdot{}\bruch{1}{2}(e^{i \omega t}+e^{-i \omega t}) dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{(-s-a+i \omega)t}+e^{(-s-a-i \omega)t} dt}=\bruch{1}{2}\cdot{}[\bruch{e^{(-s-a+i \omega)t}}{-s-a+i \omega}+\bruch{e^{(-s-a-i \omega)t}}{-s-a-i \omega}]_0^{\infty}=\bruch{1}{2}\cdot{}[\bruch{e^{(-s-a+i \omega)t}(-s-a-i \omega)+e^{(-s-a-i \omega)t}(-s-a+i \omega)}{(-s-a+i \omega)(-s-a-i \omega)}]_0^{\infty}=\bruch{1}{2}\cdot{}[\bruch{e^{(-s-a+i \omega)t}(-s-a-i \omega)+e^{(-s-a-i \omega)t}(-s-a+i \omega)}{(-s-a)^2+\omega^2}]_0^{\infty}
[/mm]
Im Zähler scheint mir eine Vereinfachung nicht möglich zu sein. Übersehe ich etwas?
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> >danach die einzelnen brüche konjugiert komplex erweitern
> und zusammenfassen
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-st}\cdot{}e^{-at}\cdot{}cos(\omega t) dt}=\integral_{0}^{\infty}{e^{(-s-a)t}\cdot{}\bruch{1}{2}(e^{i \omega t}+e^{-i \omega t}) dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{(-s-a+i \omega)t}+e^{(-s-a-i \omega)t} dt}=\bruch{1}{2}\cdot{}[\bruch{e^{(-s-a+i \omega)t}}{-s-a+i \omega}+\bruch{e^{(-s-a-i \omega)t}}{-s-a-i \omega}]_0^{\infty}=\bruch{1}{2}\cdot{}[\bruch{e^{(-s-a+i \omega)t}(-s-a-i \omega)+e^{(-s-a-i \omega)t}(-s-a+i \omega)}{(-s-a+i \omega)(-s-a-i \omega)}]_0^{\infty}=\bruch{1}{2}\cdot{}[\bruch{e^{(-s-a+i \omega)t}(-s-a-i \omega)+e^{(-s-a-i \omega)t}(-s-a+i \omega)}{(-s-a)^2+\omega^2}]_0^{\infty}[/mm]
>
>
> Im Zähler scheint mir eine Vereinfachung nicht möglich zu
> sein. Übersehe ich etwas?
die e-terme gehen für t gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0, für 0 gegen 1
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
> die e-terme gehen für t gegen [mm]\infty[/mm] gegen 0, für 0 gegen
Die E-Terme streben nur dann gegen 0, wenn die Exponenten negativ sind. Das weiß ich doch aber gar nicht, oder woher schlussfolgerst du Negativität?
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> > die e-terme gehen für t gegen [mm]\infty[/mm] gegen 0, für 0 gegen
>
> Die E-Terme streben nur dann gegen 0, wenn die Exponenten
> negativ sind. Das weiß ich doch aber gar nicht, oder woher
> schlussfolgerst du Negativität?
der realteil von s ist positiv, und a auch, sonst würde es nicht konvergieren. und der betrag von e^(jwt) ist 1
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matheist |
> > > die e-terme gehen für t gegen [mm]\infty[/mm] gegen 0, für 0 gegen
> >
> > Die E-Terme streben nur dann gegen 0, wenn die Exponenten
> > negativ sind. Das weiß ich doch aber gar nicht, oder woher
> > schlussfolgerst du Negativität?
>
> der realteil von s ist positiv, und a auch, sonst würde es
> nicht konvergieren. und der betrag von e^(jwt) ist 1
Wenn e^(jwt)=1 dann ist ein E-Term [mm] e^{(-s-a+1)t} [/mm] in dem Fall müsste s+a>1 sein. Andernfalls wäre der Exponent nicht negativ. D.h., du unterstellst es diesen Termen einfach? Ist das eine Art Fallunterscheidung?
Das Ergebnis müsste dann so lauten: [mm] \bruch{-s-a}{(-s-a)^2+w^2}
[/mm]
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Do 14.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo matheist,
irgendwo ist das Minuszeichen, das von der unteren Integralgrenze herkommt, verlorengegangen. Ein (s+a)-Term ist dann das richtige Ergebnis anstelle von (-s-a), und damit kommt man zu
[mm] \bruch{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2} [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 14.02.2013 | | Autor: | matheist |
> irgendwo ist das Minuszeichen, das von der unteren
> Integralgrenze herkommt, verlorengegangen. Ein (s+a)-Term
> ist dann das richtige Ergebnis anstelle von (-s-a), und
> damit kommt man zu
> [mm]\bruch{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2}[/mm]
Stimmt, aber warum wird der Nenner positiv? Oder genauer: Warum wird es in der Klammer positiv?
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> > irgendwo ist das Minuszeichen, das von der unteren
> > Integralgrenze herkommt, verlorengegangen. Ein (s+a)-Term
> > ist dann das richtige Ergebnis anstelle von (-s-a), und
> > damit kommt man zu
> > [mm]\bruch{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2}[/mm]
>
> Stimmt, aber warum wird der Nenner positiv? Oder genauer:
> Warum wird es in der Klammer positiv?
mh,
[mm] (-s-a)^2=(-(s+a))^2=(-1)^2*(s+a)^2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Do 14.02.2013 | | Autor: | matheist |
> > > irgendwo ist das Minuszeichen, das von der unteren
> > > Integralgrenze herkommt, verlorengegangen. Ein (s+a)-Term
> > > ist dann das richtige Ergebnis anstelle von (-s-a), und
> > > damit kommt man zu
> > > [mm]\bruch{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2}[/mm]
> >
> > Stimmt, aber warum wird der Nenner positiv? Oder genauer:
> > Warum wird es in der Klammer positiv?
>
> mh,
> [mm](-s-a)^2=(-(s+a))^2=(-1)^2*(s+a)^2[/mm]
Moment: Es muss bei der Integralrechnung folgendes gemacht werden:
[mm] \bruch{1}{2}[0-\bruch{2(-s-a)}{(-s-a)^2+w^2}]=-\bruch{(-s-a)}{(-s-a)^2+w^2}=\bruch{(s+a)}{(-s-a)^2+w^2}
[/mm]
Der Nenner bleibt also negativ.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo matheist,
beide Schreibweisen sind okay. Nimm einfach die erste binomische Formel:
[mm] ((-s) + (-a))^2 = s^2 + a^2 + 2 (-s) (-a) = s^2 + a^2 + 2as = (s+a)^2 [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Do 14.02.2013 | | Autor: | matheist |
> Berechnen Sie
> b) unter der Nutzung der Partialbruchzerlegung die Zeitfunktion zu der Laplacetransformierten [mm] F(s)=\bruch{s^2-8}{s(s-2)^2}
[/mm]
Ich habe jetzt auch einen Ansatz für b):
[mm] \bruch{s^2-8}{s(s-2)^2}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s-2}+\bruch{C}{(s-2)^2}
[/mm]
[mm] s^2-8=A(s-2)^2+Bs(s-2)+Cs
[/mm]
[mm] s^2-8=A(s^2-4s+4)+Bs^2-2B+Cs
[/mm]
[mm] s^2-8=As^2-4As+4A+Bs^2-2B+Cs
[/mm]
[mm] s^2-8=s^2(A+B)+s(-4A+C)-(-4A+2B)
[/mm]
I:= A+B=1 [mm] \gdw [/mm] A=1-B [mm] \to [/mm] III
II:= -4A+C=0
III:= 4A-2B=-8
4(1-B)-2B=-8
B=2
A=-1
C=-4
[mm] \to F(x)=\bruch{-1}{s}+\bruch{2}{s-2}+\bruch{-4}{(s-2)^2}
[/mm]
Mittels Korrespondenztabelle kann ich nun f(t) ermitteln:
[mm] f(t)=-1+2e^{2t}-4te^{2t}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Do 14.02.2013 | | Autor: | Herby |
Hallo matheist,
> > Berechnen Sie
>
> > b) unter der Nutzung der Partialbruchzerlegung die
> Zeitfunktion zu der Laplacetransformierten
> [mm]F(s)=\bruch{s^2-8}{s(s-2)^2}[/mm]
>
>
> Ich habe jetzt auch einen Ansatz für b):
>
> [mm]\bruch{s^2-8}{s(s-2)^2}=\bruch{A}{s}+\bruch{B}{s-2}+\bruch{C}{(s-2)^2}[/mm]
> [mm]s^2-8=A(s-2)^2+Bs(s-2)+Cs[/mm]
> [mm]s^2-8=A(s^2-4s+4)+Bs^2-2B+Cs[/mm]
edit: ich habe gerade noch einmal nachgeschaut - hier muss es doch
[mm]s^2-8=A(s^2-4s+4)+Bs^2-2B\red{s}+Cs[/mm]
heißen
> [mm]s^2-8=As^2-4As+4A+Bs^2-2B+Cs[/mm]
> [mm]s^2-8=s^2(A+B)+s(-4A+C)-(-4A+2B)[/mm]
>
> I:= A+B=1 [mm]\gdw[/mm] A=1-B [mm]\to[/mm] III
> II:= -4A+C=0
> III:= 4A-2B=-8
>
> 4(1-B)-2B=-8
> B=2
> A=-1
> C=-4
>
> [mm]\to F(x)=\bruch{-1}{s}+\bruch{2}{s-2}+\bruch{-4}{(s-2)^2}[/mm]
>
> Mittels Korrespondenztabelle kann ich nun f(t) ermitteln:
>
> [mm]f(t)=-1+2e^{2t}-4te^{2t}[/mm]
>
das Ergebnis ist dann so ähnlich 
LG
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 14.02.2013 | | Autor: | matheist |
Danke Herby!
> edit: ich habe gerade noch einmal nachgeschaut - hier muss
> es doch
>
> [mm]s^2-8=A(s^2-4s+4)+Bs^2-2B\red{s}+Cs[/mm]
>
> heißen
Damit bekomme ich folgendes Ergebnis:
[mm] s^2-8=A(s-2)^2+Bs(s-2)+Cs
[/mm]
[mm] s^2-8=As^2-4As+4A+Bs^2-2Bs+Cs
[/mm]
[mm] s^2-8=s^2(A+B)+s(C-4A-2B)+4A
[/mm]
A=-2
B=3
C=-2
[mm] \to \bruch{-2}{s}+\bruch{3}{s-2}+\bruch{-2}{(s-2)^2}
[/mm]
Gemäß der Korrespondenztabelle ergibt das: [mm] -2+3e^{2t}-2te^{2t}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Do 14.02.2013 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Danke Herby!
>
> > edit: ich habe gerade noch einmal nachgeschaut - hier muss
> > es doch
> >
> > [mm]s^2-8=A(s^2-4s+4)+Bs^2-2B\red{s}+Cs[/mm]
> >
> > heißen
>
> Damit bekomme ich folgendes Ergebnis:
>
> [mm]s^2-8=A(s-2)^2+Bs(s-2)+Cs[/mm]
> [mm]s^2-8=As^2-4As+4A+Bs^2-2Bs+Cs[/mm]
> [mm]s^2-8=s^2(A+B)+s(C-4A-2B)+4A[/mm]
>
> A=-2
> B=3
> C=-2
>
> [mm]\to \bruch{-2}{s}+\bruch{3}{s-2}+\bruch{-2}{(s-2)^2}[/mm]
>
> Gemäß der Korrespondenztabelle ergibt das:
> [mm]-2+3e^{2t}-2te^{2t}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
Herby
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