Laplacescher Entwicklungssatz < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Mousegg |
| Aufgabe | | Seien a1,....,an die Spalten von A Dann gilt det A = det [mm] (a_{1},...,\summe_{i=1}^{n}a_{ij},...,a_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ij} [/mm] det [mm] (a_{1},...,ei,...,a_{n}) [/mm] |
Versuche gerade mich auf meine müdliche Prüfung in LA1 vorzubereiten und bin dabei ein paar Beweise nachzuvollziehen. Dabei bin ich aber auf ein paar Schwierigkeiten gestoßen, zb : Wieso gilt in der obirgen Gleichung Gleichheit (vor allem das erste Gleichheitszeichen) und wie kommt diese Summe zustande ?
Wäre wirklich super, wenn mir jemand helfen könnte
|
|
| |
|
> Seien a1,....,an die Spalten von A Dann gilt det A = det
> [mm](a_{1},...,\summe_{i=1}^{n}a_{ij},...,a_{n})[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ij}[/mm] det [mm](a_{1},...,ei,...,a_{n})[/mm]
Hallo,
ich vermute mal ganz stark, daß dort stand
det A = [mm] det(a_{1},...,\summe_{i=1}^{n}a_{ij}e_i,...,a_{n}).
[/mm]
Was soll das?
Schauen wir die j-te Spalte [mm] a_j [/mm] an:
[mm] a_j=\vektor{a_1_j\\a_2_j\\ a_3_j\\\vdots\\a_n_j}, [/mm] und wenn wir Lust haben, können wir sie schreiben als [mm] ...=\summe_{i=1}^{n}a_{ij}e_i,
[/mm]
wobei die [mm] e_i [/mm] die i-ten Einheitsvektoren sind.
Nun ist
det A = [mm] det(a_{1},...,\summe_{i=1}^{n}a_{ij}e_i,...,a_{n})
[/mm]
[mm] =det(a_{1},...,a_{1j}e_1,...,a_{n})+det(a_{1},...,a_{2j}e_2,...,a_{n})+...+det(a_{1},...,a_{nj}e_n,...,a_{n})\qquad [/mm] (warum eigentlich?)
[mm] =a_{1j}det(a_{1},...,e_1,...,a_{n})+a_{1j}det(a_{1},...,e_2,...,a_{n})+...+a_{nj}det(a_{1},...,e_n,...,a_{n}) \qquad [/mm] (warum?)
[mm] =\summe_{i=1}^n\red{(}a_i_jdet(a_{1},...,e_i,...,a_{n})\red{)}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 31.03.2011 | | Autor: | Mousegg |
Ahh so macht das gnaze natürlich Sinn ^^.
Ohne die Klammer und ohne den Einheitsvektor konnte ich mir da keinen Reim draus machen. Vielen Dank schonmal
Die Gleichheit die du nachgefragt hast folgt denke ich aus der Multilinearität von det ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ahh so macht das gnaze natürlich Sinn ^^.
> Ohne die Klammer und ohne den Einheitsvektor konnte ich mir
> da keinen Reim draus machen. Vielen Dank schonmal
> Die Gleichheit die du nachgefragt hast folgt denke ich aus
> der Multilinearität von det ?
Genau
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:35 So 03.04.2011 | | Autor: | Mousegg |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{ki}=a_{ki+1} [/mm] ti eine Transposition
Es gilt [mm] detA=\summe_{o€S}^{} [/mm] sign(o) [mm] a_{o(1)1}....a_{o(n)n}= \summe_{o€S}^{} [/mm] sign(o) [mm] a_{o(1)1}...(a_{o(i)i}*a_{o(i+1)i+1}- a_{o_{ti}(i)i}*a_{o_{ti}(i+1)i+1})...a_{o(n)n} [/mm] =0 |
Gehört jetzt zwar nicht mehr zum Diskussionsthema würde das hier aber trotzdem gerne nachfragen.
Es geht darum zu zeigen, dass die Abbildung die durch die Leipnitzformel gegben ist alternierend ist.
In meinem Skript hab ich dazu obriges gefunden. Ich versteh aber nicht wie das ganze zustande kommt. Schätze mal das das minus von sign kommt aber wieso darf man die sigmata einfach so mit einer Transposition verknüpfen ich versteh nicht ganz wieso das der Ursprugsgleichung entspricht?
Hilfe wäre sehr nett :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 05.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Mousegg |
Sieht wohl so aus als wär ich nicht der einzige der da nicht durchblickt
^^ kann mir denn niemand weiterhelfen ?
|
|
|
|
