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| Aufgabe | Man löse mit Laplace-Transformation die Anfangswertaufgabe
x''(t) − y'(t) = 0
y''(t) + x' (t) = [mm] \alpha
[/mm]
x(0) = 0
y(0) = 0
x'(0) = 0
y'(0) = 0
mit positiver Konstante [mm] \alpha. [/mm] |
Hallo,
ich habe hier erstmal versucht die 2 DGL umzuformen, aus der ersten bekomme ich:
x'(t)=y(t)+C
das in die 2. eingesetzt gibt:
y''(t)+y(t)= [mm] \alpha [/mm] - C
stimmt das soweit?
dann über den Differentiationssatz bekomme ich die gleichung:
[mm] s^2 [/mm] Y(t) - s * y(0^+) + y'(0^+) + Y(s) = G(s)
Mit Y(s)= L{y(t)} und G(s)=L{g(t)}= [mm] (\alpha [/mm] - C) * [mm] \bruch{1}{s}
[/mm]
[mm] g(t)=\alpha [/mm] - C
kann man das hier als konstante rausziehen und als heavisidefunktion trasformieren?
dann setzte ich meine AWPs ein und bekomme.
Y(s)=G(s) * [mm] \bruch{1}{t^2 + 1} [/mm] = [mm] (\alpha [/mm] - C) * [mm] \bruch{1}{s(s^2+1)}
[/mm]
dann rücktransformieren
y(t)= [mm] (\alpha [/mm] -C) * (1-cos(t))
konstante C mit AWP bestimmen:
y(0)= [mm] \alpha [/mm] - C [mm] -\alpha [/mm] + C=0
y'(t)= [mm] \alpha*sin(t) [/mm] -C*cos(t)=0
daraus folgt C=0
damit ist [mm] y(t)=(\alpha [/mm] - 1)*cos(t)
ist das so richtig?
damit könnte ich dann x(t) berechnen:
[mm] x(t)=\integral_{}^{}{y(t) dt}= (\alpha [/mm] - 1)*sin(t)+D
x'(t)= [mm] (\alpha [/mm] - 1)cos(t)
mit AWP:
[mm] x(0)=(\alpha [/mm] - 1) sin (0)=0
[mm] x'(0)=(\alpha [/mm] - 1)*1=0 >> [mm] \alpha=1
[/mm]
aber das kann nicht passen, oder? dann wäre x(t)=0
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Hallo pandabaer,
> Man löse mit Laplace-Transformation die
> Anfangswertaufgabe
> x''(t) − y'(t) = 0
> y''(t) + x' (t) = [mm] \alpha[/mm]
> x(0) = 0
> y(0) = 0
> x'(0) = 0
> y'(0) = 0
> mit positiver Konstante [mm] \alpha.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe hier erstmal versucht die 2 DGL umzuformen, aus
> der ersten bekomme ich:
>
> x'(t)=y(t)+C
>
> das in die 2. eingesetzt gibt:
>
> y''(t)+y(t)= [mm]\alpha[/mm] - C
>
> stimmt das soweit?
Ja.
>
> dann über den Differentiationssatz bekomme ich die
> gleichung:
>
> [mm]s^2[/mm] Y(t) - s * y(0^+) + y'(0^+) + Y(s) = G(s)
>
> Mit Y(s)= L{y(t)} und G(s)=L{g(t)}= [mm](\alpha[/mm] - C) *
> [mm]\bruch{1}{s}[/mm]
> [mm]g(t)=\alpha[/mm] - C
> kann man das hier als konstante rausziehen und als
> heavisidefunktion trasformieren?
Ja.
>
> dann setzte ich meine AWPs ein und bekomme.
>
> Y(s)=G(s) * [mm]\bruch{1}{t^2 + 1}[/mm] = [mm](\alpha[/mm] - C) *
> [mm]\bruch{1}{s(s^2+1)}[/mm]
>
> dann rücktransformieren
>
> y(t)= [mm](\alpha[/mm] -C) * (1-cos(t))
>
> konstante C mit AWP bestimmen:
>
> y(0)= [mm]\alpha[/mm] - C [mm]-\alpha[/mm] + C=0
> y'(t)= [mm]\alpha*sin(t)[/mm] -C*cos(t)=0
> daraus folgt C=0
>
> damit ist [mm]y(t)=(\alpha[/mm] - 1)*cos(t)
Hier muss es heissen:
[mm]y(t)=\alpha\left( \ 1-\cos\left(t\right) \ \right)[/mm]
>
> ist das so richtig?
>
> damit könnte ich dann x(t) berechnen:
>
> [mm]x(t)=\integral_{}^{}{y(t) dt}= (\alpha[/mm] - 1)*sin(t)+D
> x'(t)= [mm](\alpha[/mm] - 1)cos(t)
>
> mit AWP:
> [mm]x(0)=(\alpha[/mm] - 1) sin (0)=0
> [mm]x'(0)=(\alpha[/mm] - 1)*1=0 >> [mm]\alpha=1[/mm]
>
> aber das kann nicht passen, oder? dann wäre x(t)=0
>
Gruss
MathePower
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Oh, ja richitg!
dann bekomme ich für [mm] x(t)=\alpha(t [/mm] + A -sint + B)
mit dem AWP dann:
x(0)= [mm] \alpha*A [/mm] + [mm] \alpha*B=0 [/mm] damit A=-B
die zweite bedingung bringt mich aber nicht weiter:
x'(t)= [mm] \alpha*(1-cost)
[/mm]
x'(0)=0
wie berechne ich dann A und B?
Danke für die schnelle antwort!!
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Hallo pandabaer,
> Oh, ja richitg!
> dann bekomme ich für [mm]x(t)=\alpha(t[/mm] + A -sint + B)
Wenn Du das korrigierte y(t) integrierst, bekommst Du
[mm]x\left(t\right)=\alpha*\left( \ t - \sin\left(t\right) \ \right) + C[/mm]
Hier ist dann nur noch eine Konstante zu bestimmen.
>
> mit dem AWP dann:
>
> x(0)= [mm]\alpha*A[/mm] + [mm]\alpha*B=0[/mm] damit A=-B
[mm]\sin\left(0\right)=0[/mm], somit ist B=0.
> die zweite bedingung bringt mich aber nicht weiter:
> x'(t)= [mm]\alpha*(1-cost)[/mm]
Nach Deiner Lösung muss es hier heißen: [mm]x'\left(t\right)=\alpha*\left( \ 1-A*\cos\left(t\right) \ \right)[/mm]
> x'(0)=0
> wie berechne ich dann A und B?
> Danke für die schnelle antwort!!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Sa 16.01.2010 | | Autor: | pandabaer |
gut, alles klar!
Danke!
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kann es sein, dass ich mich hier verrechnet habe? hab grad nachgerechnet und komme nicht mehr drauf...
> dann rücktransformieren
>
> y(t)= $ [mm] (\alpha [/mm] -C) * (1-cos(t))
>
> konstante C mit AWP bestimmen:
>
> y(0)= [mm] \alpha [/mm] $ - C [mm] -\alpha [/mm] + C=0
> y'(t)= [mm] \alpha\cdot{}sin(t) [/mm] -C*cos(t)=0
> daraus folgt C=0
die ableitung ist doch y'(t)= [mm] \alpha [/mm] sint - C sint oder? dann bekomme ich nur wieder 0=0
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Hallo pandabaer,
> kann es sein, dass ich mich hier verrechnet habe? hab grad
> nachgerechnet und komme nicht mehr drauf...
>
> > dann rücktransformieren
> >
> > y(t)= $ [mm](\alpha[/mm] -C) * (1-cos(t))
> >
> > konstante C mit AWP bestimmen:
> >
> > y(0)= [mm]\alpha[/mm] $ - C [mm]-\alpha[/mm] + C=0
> > y'(t)= [mm]\alpha\cdot{}sin(t)[/mm] -C*cos(t)=0
> > daraus folgt C=0
>
> die ableitung ist doch y'(t)= [mm]\alpha[/mm] sint - C sint oder?
> dann bekomme ich nur wieder 0=0
Das ist auch richtig.
Die Konstante C ermittelst Du aus der Gleichung
[mm]x'\left(t\right)=y\left(t\right)+C[/mm]
für t=0.
Gruss
MathePower
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damit komme ich dann für x(t) auf ein anderes ergebnis:
x(t)= [mm] \alpha [/mm] (1-sint) +D
x'(t)= [mm] \alpha [/mm] (1-cost)
x(0)= [mm] \alpha [/mm] + D = 0 >> D= [mm] -\alpha
[/mm]
x'(0)= [mm] \alpha(1-cos0)=0=0
[/mm]
ich bin verwirrt, ist jetzt die konstante 0 oder [mm] -\alpha?
[/mm]
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Hallo pandabaer,
> damit komme ich dann für x(t) auf ein anderes ergebnis:
>
> x(t)= [mm]\alpha[/mm] (1-sint) +D
x(t) muss so lauten:
[mm]x\left(t\right)=\alpha*\left( \ \red{t}-\sin\left(t\right) \ \right)+D[/mm]
"1" integriert, ergibt "t", und nicht wieder "1".
> x'(t)= [mm]\alpha[/mm] (1-cost)
>
> x(0)= [mm]\alpha[/mm] + D = 0 >> D= [mm]-\alpha[/mm]
> x'(0)= [mm]\alpha(1-cos0)=0=0[/mm]
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> ich bin verwirrt, ist jetzt die konstante 0 oder [mm]-\alpha?[/mm]
Gruss
MathePower
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