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| Aufgabe | Lsen Sie das folgende Differentialgleichungssystem mit Hilfe der Laplacetransformation
[mm] x'=\pmat{ 0 & 2 \\ 1 & 1 }x+\vektor{sint \\ cost}, x(0)=\vektor{0 \\ 0} [/mm] |
Hallo
Ich hätte das ganze so probiert
x'=2y+sint
y'=x+y+cost
transformieren zu
[mm] S*Y-x(0)=2Y+\bruch{1}{S^2+1}
[/mm]
[mm] S*X-y(0)=X+Y+\bruch{S}{S^2+1} [/mm] bin ich das auf dem richtigen Lösungsweg??
jetzt drück ich mir z.B X aus und setz es in die zweite Diffgleichung ein und transformiere zurück
[mm] X=\bruch{2Y}{S}+\bruch{1}{(S^2+1)*S}
[/mm]
[mm] SY=\bruch{2}{S}Y+\bruch{1}{(S^2+1)*S}+Y+\bruch{1}{S^2+1}
[/mm]
[mm] Y(S-\bruch{2}{S}-1)=\bruch{1}{S}
[/mm]
[mm] Y=\bruch{1}{S^{2}-S-2}=\bruch{-1}{3(S+1)}+\bruch{1}{3(S-2)}
[/mm]
[mm] y=\bruch{-1}{3}e^{-t}+\bruch{1}{3}e^{2t}
[/mm]
und für x gehts analog
Kann sich das vielleicht jemand anschauen ob das vom Prinzip stimmt
Danke
lg Stevo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Do 31.08.2006 | | Autor: | Martin243 |
Hallo,
schon jetzt vorweg:
Mit kommt die Lösung etwas einfach vor. Sinus und Cosinus sind irgendwie verschwunden. Na ja, vielleicht irre ich mich...
Bis später
Martin
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Hallo,
ich nehme alles zurück. Der Cosinus taucht beim x auf und das hattest du noch gar nicht ausgerechnet...
Das y ist auf jeden Fall volkommen richtig.
Wenn du erlaubst, kann ich dir noch mal meinen Lösungsweg zeigen, der naheliegend ist, weil das Gleichungssystem über Matrizen definiert ist. Hierbei sind [mm]x[/mm] und [mm]u[/mm] Vektoren und [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] Matrizen:
Allgemeine Form:
[mm]\dot{x} = A*x + B*u[/mm]
Im Laplacebereich (Transfomation einer Matrix geschieht komponentenweise):
[mm]s*X - x\left(0\right) = A*X + B*U[/mm]
Aufgelöst nach X:
[mm]X = \left(s*I - A\right)*x\left(0\right)^{-1} + \left(s*I - A\right)^{-1}*B*U[/mm]
Rücktransformation ähnlich wie bei skalaren Größen:
[mm]x = e^{A*t}*x\left(0\right) + \int_0^t e^{A*\left(t-\tau\right)}*B*u\left(\tau\right) d\tau[/mm]
Man braucht nur noch das Matrixeponential [mm]e^{A*t}[/mm]. Da dies die Laplace-Rücktransformierte der Matrix [mm]\left(s*I-A\right)^{-1}[/mm] ist, können wir zuerst diese Matrix im Laplacebereich berechnen und dann komponentenweise zurücktransformieren.
In deinem Fall ist [mm]B=I[/mm], da lohnt diese Methode nicht. Aber sie funktioniert auch.
Gruß
Martin
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