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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 So 03.06.2012 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | zeigen sie das gilt: [mm] \Delta(fg)=f \Delta g+2*(grad(f)\circ [/mm] grad(g))+ g [mm] \Delta [/mm] f
wobei [mm] \circ [/mm] das Standardskalarprodukt darstellen soll. und Das Delta natürlich als Laplaceoperator. |
Der Laplaceoperator ist ja ein skalarer Operator der Funktionen ein skalares Feld und zwar jeder Komponente die zweite Ableitung zuordnet. Kann ich nun hier mit der Produktregel hantieren, also:
[mm] \Delta(fg)=g \Delta [/mm] f + f [mm] \Delta [/mm] g [mm] =g(\nabla*\nabla)f +f(\nabla*\nabla)g [/mm]
Wie komme ich nun weiter um das geforderte zu zeigen? Hab schon lange rumprobiert und nie auf das geroferdete gekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Produktregel fuer eine zweite Ableitung ist so falsch!
also mach es explizit, mit [mm] \nabla*\nabla, [/mm] oder der richtigen Produktregel fuer zweite Ableitungen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 03.06.2012 | | Autor: | doom0852 |
Mit [mm] \nabla*\nabla [/mm] habe ich schonb rumgerechnet davor, kam aber auch nie zum Ziel:
[mm] \nabla*\nabla(fg)=\nabla*(\nabla(fg))=\nabla*(g\nabla(f) [/mm] + [mm] f\nabla(g)) [/mm] = [mm] g\Delta [/mm] f + f [mm] \Delta [/mm] g
natürlich weiß ich nich ob ich den Schritt so machen darf, hab aber auch andere Möglichkeiten ausprobiert, neimals zum Ziel gekommen. Ich bräcuhjte bitte dringend einen stichhaltigen Tipp, weil ich morgen die Aufgabe abgeben muss.
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Mit [mm]\nabla*\nabla[/mm] habe ich schonb rumgerechnet davor, kam
> aber auch nie zum Ziel:
>
> [mm]\nabla*\nabla(fg)=\nabla*(\nabla(fg))=\nabla*(g\nabla(f)[/mm] +
> [mm]f\nabla(g))[/mm]
hier hast du die Produktregel einmal richtig angewandt, warum jetzt nicht nochmal fuer die 2 Summanden?
da hast du jeweils nur den 2 ten Faktor abgeleitet??
also erstmal [mm] \nabla*(g* \nabla(f)) [/mm] da wendest du doch [mm] \nabla [/mm] auf ein Produkt an. Im Zweifel schreib mak [mm] \nabla [/mm] aus!
>= [mm]g\Delta[/mm] f + f [mm]\Delta[/mm] g
falsch
> natürlich weiß ich nich ob ich den Schritt so machen
> darf,
den ersten schon, wenn du [mm] \nabla [/mm] ausschreibst ist das klar!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 03.06.2012 | | Autor: | doom0852 |
Ja aber ich multipliziere doch [mm] \nabla [/mm] hier skalar mit der Klammer. Am Ende muss ja wieder ein Skalar rauskommen. und Für skalare Multiplikation brauch ich doch keine kettenregel, nur wenn ich den gradienten bestimmen würde, oder?
Edit: Ich habs mal mit nochmaliger Anwendung der Produktregel versucht, aber so kommt man meiner Meinung nach auch nicht zum Ziel:
[mm] \nabla*g\nabla [/mm] f + [mm] g\Delta [/mm] f + [mm] \nabla*f\nabla [/mm] g [mm] +f\Delta [/mm] g
Hier hab ich jeweils die skalare multiplikation betont
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
du operierst recht beliebig mit Symbolen [mm] \nabla
[/mm]
[mm] \nabla*g [/mm] etwa macht doch keinen Sinn, [mm] \nabla [/mm] wird auf g angewandt, also ist
diese:
$ [mm] \nabla\cdot{}g\nabla [/mm] $ f + $ [mm] g\Delta [/mm] $ f + $ [mm] \nabla\cdot{}f\nabla [/mm] $ g $ [mm] +f\Delta [/mm] $ g
Schreibweise Unsinn
richtig ist:
[mm] (\nabla g)*(\nabla [/mm] f )+ [mm] g\Delta [/mm] f + [mm] (\nabla f)*(\nabla [/mm] g) [mm] +f\Delta [/mm] g
da du so durcheinander bist mach es doch mal statt mit dem Symbol wirklich, wenigstens in 2d, also
[mm] \vektor{d/dx \\ d/dy}*( \vektor{f*dg/dx \\ f*dg/dy}
[/mm]
usw. also verwend die Symbole nicht sinnfrei!
Gruss leduart
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