Laplace Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:22 Fr 29.05.2015 | | Autor: | xarmar |
| Aufgabe | Sei T [mm] \subset R^{2} [/mm] das off ene Dreieck mit den Ecken (0; 0), (0; 1) und (1; 0), sei Q = (0; [mm] 1)^{2} [/mm] das
Einheitsquadrat und sei S : [mm] L^2(Q) [/mm] -> [mm] L^2(Q) [/mm] gegeben durch Su(x; y) = u(1-y; 1-x).
Wir bezeichnen eine Funktion f [mm] \in L^2(Q) [/mm] als gerade, wenn u = Su und als ungerade, wenn
u =-Su. Sei [mm] (u_{n}) n\in \IN [/mm] ein vollstandiges Orthonormalsystem von Eigenvektoren des Laplace-
Operators mit Dirichlet-Randbedingungen auf Q, wobei [mm] u_{n} [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_{n}
[/mm]
ist. Schlielich sei [mm] E(\lambda) [/mm] der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
1. Sei [mm] n\in \IN. [/mm] Zeigen Sie [mm] Su_{n} \in E(\lambda_{n}).
[/mm]
2.Geben Sie ein vollstandiges Orthogonalsystem aus Eigenvektoren des Laplace-
Operators mit Dirichlet-Randbedingungen auf T an. |
1. Für den Laplace Operator gilt: [mm] u_{n,m}=sin(n\pix)sin(m\piy)
[/mm]
[mm] Su_{n,m}=u_{n,m}(1-x,1-y)=sin(n\pi(1-y))sin(m\pi(1-x))=sin(n\pi-n\piy)sin(m\pi-m\pix) [/mm] Dann für n,m beide gerade oder ungerade ist es gleich [mm] u_{n,m} [/mm] sonst [mm] -u_{n,m} [/mm] aber beide [mm] \in E(\lamda_{n})
[/mm]
Ist es ok?
2. Hier habe ich gedacht, dass [mm] v(x,y)=\begin{cases} u(x,y), & \mbox{für } x \mbox{ positiv} \\ -u(-x,y), & \mbox{für } x \mbox{ negativ} \end{cases} [/mm] kann eine solche Orthogonalsystem für T sein, da [mm] u_{n} [/mm] ist ein Orthonormalsystem für Q. Gilt das? Wieso ist es vollständig?
Auf einen Antwort würde ich mich sehr freuen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 02.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
