Laplace Anfangswertproblem II < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M-Ti |
Moin,
ich habe bei dieser Aufgabe, wo man das Anfangswertproblem mittels Laplace-Transformation lösen soll, das Problem, dass ich in den komplexen Bereich komme und nicht weiter weiss...
y''+4y=sin(2t) mit y(0)=2 und y'(0)=1
[mm] s^2*F(s)-2s-1+4*F(s)=\bruch{2}{s^2+4}
[/mm]
<->
[mm] F(s)[s^2+4]=\bruch{2}{s^2+4}+2s+1
[/mm]
<->
[mm] F(s)=\bruch{2}{s^2+4)^2}+\bruch{2s}{s^2+4}+\bruch{1}{s^2+4}
[/mm]
Ansatz zur Partialbruchzerlegung (bin mir nicht sicher ob das so richtig ist):
[mm] F(s)=\bruch{A}{(s^2+4)^2}+\bruch{B}{s^2+4}+\bruch{Cs+D}{s^2+4}+\bruch{Es+F}{s^2+4}
[/mm]
[mm] s^2+4=0 [/mm] --> s1=2i und s2=-2i
A=2 ?
[mm] B=\bruch{2}{s^2+4} [/mm] und s1 oder s2 einsetzen? Wieso gerade s1 bzw. s2?
[mm] \bruch{Cs+D}{s^2+4}=\bruch{2s}{s^2+4} [/mm] Wie mache ich das jetzt hier?
Ich bin gerade etwas verwirrt. Ich hoffe jemand kann helfen... Vielen Dank
|
|
| |
|
Hallo M-Ti,
> Moin,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe, wo man das Anfangswertproblem
> mittels Laplace-Transformation lösen soll, das Problem,
> dass ich in den komplexen Bereich komme und nicht weiter
> weiss...
>
> y''+4y=sin(2t) mit y(0)=2 und y'(0)=1
>
> [mm]s^2*F(s)-2s-1+4*F(s)=\bruch{2}{s^2+4}[/mm]
> <->
> [mm]F(s)[s^2+4]=\bruch{2}{s^2+4}+2s+1[/mm]
> <->
>
> [mm]F(s)=\bruch{2}{s^2+4)^2}+\bruch{2s}{s^2+4}+\bruch{1}{s^2+4}[/mm]
>
> Ansatz zur Partialbruchzerlegung (bin mir nicht sicher ob
> das so richtig ist):
>
> [mm]F(s)=\bruch{A}{(s^2+4)^2}+\bruch{B}{s^2+4}+\bruch{Cs+D}{s^2+4}+\bruch{Es+F}{s^2+4}[/mm]
Der richtige Ansatz lautet:
[mm]F(s)=\bruch{\alpha*s+\beta}{s^2+4}+\bruch{\gamma*s+\delta}{\left(s^2+4\right)^{2}}[/mm]
Im übrigen hast Du schon die Partialbrüche da stehen:
[mm]F(s)=\bruch{2}{\left(s^2+4\right)^2}+\bruch{2s+1}{s^2+4}[/mm]
>
> [mm]s^2+4=0[/mm] --> s1=2i und s2=-2i
>
> A=2 ?
> [mm]B=\bruch{2}{s^2+4}[/mm] und s1 oder s2 einsetzen? Wieso gerade
> s1 bzw. s2?
> [mm]\bruch{Cs+D}{s^2+4}=\bruch{2s}{s^2+4}[/mm] Wie mache ich das
> jetzt hier?
>
> Ich bin gerade etwas verwirrt. Ich hoffe jemand kann
> helfen... Vielen Dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M-Ti |
$ [mm] F(s)=\bruch{2}{s^2+4)^2}+\bruch{2s}{s^2+4}+\bruch{1}{s^2+4} [/mm] $
--> Also besser gleich auf die Form
[mm] F(s)=\bruch{2}{\left(s^2+4\right)^2}+[red]\bruch{2s+1}{s^2+4}[/red] [/mm] bringen
Der rictige Ansatz ist dann:
$ [mm] F(s)=\bruch{\alpha\cdot{}s+\beta}{s^2+4}+\bruch{\gamma\cdot{}s+\delta}{\left(s^2+4\right)^{2}} [/mm] $
und somit [mm] \alpha=2 \beta=1 \gamma=0 \delta=2
[/mm]
richtig so?
|
|
|
| |
|
Hallo M-Ti,
> [mm]F(s)=\bruch{2}{s^2+4)^2}+\bruch{2s}{s^2+4}+\bruch{1}{s^2+4}[/mm]
>
> --> Also besser gleich auf die Form
> [mm]F(s)=\bruch{2}{\left(s^2+4\right)^2}+[red]\bruch{2s+1}{s^2+4}[/red][/mm]
> bringen
>
> Der rictige Ansatz ist dann:
>
> [mm]F(s)=\bruch{\alpha\cdot{}s+\beta}{s^2+4}+\bruch{\gamma\cdot{}s+\delta}{\left(s^2+4\right)^{2}}[/mm]
>
> und somit [mm]\alpha=2 \beta=1 \gamma=0 \delta=2[/mm]
>
> richtig so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M-Ti |
Vielen lieben Dank...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 01.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Ähmmm, ich hab das mal heute nochmal gerechnet und es ist eine Frage aufgetaucht:
y''+4y=sin(2t)
--> [mm] s^2*F(s)-2s-1+4*F(s)=\bruch{2}{s^2+4}
[/mm]
<-> [mm] F(s)[s^2+4]=\bruch{2}{s^2+4}+2s+1 [/mm]
<-> [mm] F(s)=\bruch{2}{(s^2+4)^2}+\bruch{2s+1}{s^2+4}
[/mm]
Ansatz zur PBZ:
[mm] \bruch{As+B}{(s^2+4)^2}+\bruch{Cs+D}{(s^2+4)}+\bruch{Es+F}{(s^2+4)}
[/mm]
-> E=2, F=1
-> B=2
Der Ansatz ist doch so richtig, oder? Nur fällt der Teil [mm] \bruch{Cs+D}{(s^2+4)} [/mm] sowieso weg und daher hast du ihn im Ansatz in deinem Post gar nicht aufgeführt?
Vielen Dank.
Gruß
M-Ti
|
|
|
| |
|
Hallo M-Ti,
> Ähmmm, ich hab das mal heute nochmal gerechnet und es ist
> eine Frage aufgetaucht:
>
> y''+4y=sin(2t)
> --> [mm]s^2*F(s)-2s-1+4*F(s)=\bruch{2}{s^2+4}[/mm]
> <-> [mm]F(s)[s^2+4]=\bruch{2}{s^2+4}+2s+1[/mm]
> <-> [mm]F(s)=\bruch{2}{(s^2+4)^2}+\bruch{2s+1}{s^2+4}[/mm]
>
> Ansatz zur PBZ:
>
> [mm]\bruch{As+B}{(s^2+4)^2}+\bruch{Cs+D}{(s^2+4)}+\bruch{Es+F}{(s^2+4)}[/mm]
> -> E=2, F=1
> -> B=2
>
> Der Ansatz ist doch so richtig, oder? Nur fällt der Teil
Nicht ganz, das Nennerpolynom [mm]s^{2}+4[/mm] ist nur einmal zu berücksichtigen.
> [mm]\bruch{Cs+D}{(s^2+4)}[/mm] sowieso weg und daher hast du ihn im
> Ansatz in deinem Post gar nicht aufgeführt?
Der Teil [mm]\bruch{Cs+D}{(s^2+4)}[/mm] hat denselben
Nenner wie [mm]\bruch{Es+F}{(s^2+4)}[/mm], daher brauch
ich den nicht nochmal aufführen.
Den Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet so:
[mm]\bruch{As+B}{(s^2+4)^2}+\bruch{Cs+D}{(s^2+4)}[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{As+B}{(s^2+4)^2}+\bruch{Es+F}{(s^2+4)}[/mm]
>
> Vielen Dank.
> Gruß
> M-Ti
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mi 01.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
OK, habs verstanden. Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
