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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des folgenden AWP mittels Laplace-Transformation.
[mm] x''(t)+4x(t)=p\delta(t-2); p\in\IR; [/mm] x(0)=x'(0)=0 |
Hallo,
ich habe bisher folgende Rechnung:
[mm] L\{x''(t)+4x(t)\}=L\{p\delta(t-2)\}
[/mm]
[mm] s^2X(s)-s*x(0)-s*x'(0)+4*X(s)=p*L\{\delta(t-2)\}
[/mm]
[mm] X(s)*(s^2+4)=p*e^{-2s}
[/mm]
[mm] X(s)=\bruch{p*e^{-2s}}{s^2+4}
[/mm]
So jetzt müsste ich eigentlich eine Rücktransformation mit Tabelle machen, find aber in der Tabelle keinen Ausdruck mit [mm] e^{-2s}.
[/mm]
Was nun?
Grüße
Zweiti
P.s. Hab diese Frage in keinem andern Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mi 25.11.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Zweiti,
> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden AWP mittels
> Laplace-Transformation.
> [mm]x''(t)+4x(t)=p\delta(t-2); p\in\IR;[/mm] x(0)=x'(0)=0
> Hallo,
>
> ich habe bisher folgende Rechnung:
>
> [mm]L\{x''(t)+4x(t)\}=L\{p\delta(t-2)\}[/mm]
> [mm]s^2X(s)-s*x(0)-s*x'(0)+4*X(s)=p*L\{\delta(t-2)\}[/mm]
> [mm]X(s)*(s^2+4)=p*e^{-2s}[/mm]
> [mm]X(s)=\bruch{p*e^{-2s}}{s^2+4}[/mm]
> So jetzt müsste ich eigentlich eine Rücktransformation
> mit Tabelle machen, find aber in der Tabelle keinen
> Ausdruck mit [mm]e^{-2s}.[/mm]
> Was nun?
wäre hier vielleicht der Faltungssatz eine Alternative zur Korrespondenztabelle?
Grüße
Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Zweiti |
Naja,
dann müsste ich ja im Bildbereich zwei einzelne Fkt. haben, die ich transformieren kann, aber mein Problem ist, dass ich die Fkt. mit dem [mm] e^{-2s} [/mm] nicht transformieren kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Rene |
> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden AWP mittels
> Laplace-Transformation.
> [mm]x''(t)+4x(t)=p\delta(t-2); p\in\IR;[/mm] x(0)=x'(0)=0
> Hallo,
>
> ich habe bisher folgende Rechnung:
>
> [mm]L\{x''(t)+4x(t)\}=L\{p\delta(t-2)\}[/mm]
> [mm]s^2X(s)-s*x(0)-s*x'(0)+4*X(s)=p*L\{\delta(t-2)\}[/mm]
Hier erstmal korrigieren, Für die Differentiation gilt:
[mm]s^2X(s)-s*x(0)-x'(0)+4*X(s)=p*L\{\delta(t-2)\}[/mm]
(Was ein Glück wenn die Anfangsbedingungen Null sind)
> [mm]X(s)*(s^2+4)=p*e^{-2s}[/mm]
> [mm]X(s)=\bruch{p*e^{-2s}}{s^2+4}[/mm]
> So jetzt müsste ich eigentlich eine Rücktransformation
> mit Tabelle machen, find aber in der Tabelle keinen
> Ausdruck mit [mm]e^{-2s}.[/mm]
> Was nun?
>
> Grüße
> Zweiti
>
> P.s. Hab diese Frage in keinem andern Forum gestellt.
Ich würde mir mal den Eingang etwas genauer Anschauen. Der ist zeitverschoben. (Du hast ja auch die Zeitverschiebung für die Hintransformation genutzt, warum nicht acuh für die Rücktransformation?)
[mm]X(s)={\underbrace{\frac{p}{s^2+4}}_{\tilde{X}(s)}\cdot e^{-2s}[/mm]
Rücktrafo (ungedämpftes System 2. Ordnung -> muss eine sinusartige Funktion rauskommen)
Also: [mm]x(\tilde{t})=L\left\{\tilde{X}(s)\right\} = L\left\{\frac{p}{2}\frac{2}{s^2+4}\right\} = \frac{p}{2}\underbrace{L\left\{\frac{2}{s^2+4}\right\}}_{\sin(2\tilde{t})}=\frac{p}{2}\sin(2\tilde{t})[/mm]
Jetzt noch die Zeitverschiebung berücksichtigen [mm]\tilde{t}=t-2[/mm] und du hast die Lösung
[mm] x(t)=\frac{p}{2}\sin(2t-4) [/mm]
Ist ja auch logisch, wenn ich das lineare System erst später anrege, Antwortet es eben auch erst später.
MFG
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