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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Fr 02.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Laplace-Transformation der Funktion
f(t) = [mm] t^2 [/mm] mit t [mm] \ge [/mm] 0
In der Originalaufgabenstellung steht f(x) = [mm] t^2 [/mm] mit t [mm] \ge [/mm] 0, aber macht das überhaupt Sinn, dann t einzuschränken??? |
Moin Moin!
Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) wird gebildet,
indem ich f(t) mit [mm] e^{-st} [/mm] mit s> 0 multipliziere
und diesen Ausdruck dann über das Intervall [mm] [0;\infty] [/mm]
integriere; also ein uneigentliches Integral bilde.
L{f(t)} = [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(t)*e^{-st} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^2*e^{-st} dt}
[/mm]
Hiert muss ich partiell integrieren...
1. Stufe
u = [mm] t^2 [/mm] v' = [mm] e^{-st} [/mm]
u' = 2t v = [mm] \bruch{1}{-s}*e^{-st}
[/mm]
= [mm] [t^2* \bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{2t*\bruch{1}{-s}e^{-st} dt}
[/mm]
= [mm] [t^2* \bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty [/mm] + [mm] \bruch{1}{s} \integral_{0}^{\infty}{2t*e^{-st} dt}
[/mm]
2. Stufe
u = 2t v' = [mm] e^{-st} [/mm]
u' = 2 v = [mm] \bruch{1}{-s}*e^{-st}
[/mm]
= [mm] [t^2* \bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty [/mm] + [mm] \bruch{1}{s}*[2t*\bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty [/mm] - [mm] \bruch{1}{s}*\integral_{0}^{\infty}{2*\bruch{1}{-s}e^{-st} dt}
[/mm]
= [mm] [t^2* \bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty [/mm] + [mm] \bruch{1}{s}*[2t*\bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty [/mm] - [mm] \bruch{1}{s}*[\bruch{2}{s^2}*e^{-st}]_0^\infty
[/mm]
= [mm] [e^{-st}*(t^2*\bruch{1}{-s} [/mm] + [mm] \bruch{1}{s}*2t*\bruch{1}{-s} [/mm] - [mm] \bruch{1}{s}*\bruch{2}{s^2})]_0^\infty
[/mm]
= [mm] [e^{-st}*( -\bruch{t^2}{s} [/mm] - [mm] \bruch{2t}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{s^3})]_0^\infty
[/mm]
= 0 - [mm] (-\bruch{2}{s^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{s^3}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Fr 02.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Entwickeln Sie die Laplace-Transformation der Funktion
>
> f(t) = [mm]t^2[/mm] mit t [mm]\ge[/mm] 0
>
> In der Originalaufgabenstellung steht f(x) = [mm]t^2[/mm] mit t
> [mm]\ge[/mm] 0, aber macht das überhaupt Sinn, dann t
> einzuschränken???
> Moin Moin!
>
>
> Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) wird
> gebildet,
> indem ich f(t) mit [mm]e^{-st}[/mm] mit s> 0 multipliziere
> und diesen Ausdruck dann über das Intervall [mm][0;\infty][/mm]
> integriere; also ein uneigentliches Integral bilde.
>
> L{f(t)} = [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(t)*e^{-st} dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{\infty}{t^2*e^{-st} dt}[/mm]
>
> Hiert muss ich partiell integrieren...
>
> 1. Stufe
>
> u = [mm]t^2[/mm] v' = [mm]e^{-st}[/mm]
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> u' = 2t v = [mm]\bruch{1}{-s}*e^{-st}[/mm]
>
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> = [mm][t^2* \bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{2t*\bruch{1}{-s}e^{-st} dt}[/mm]
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> = [mm][t^2* \bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty[/mm] + [mm]\bruch{1}{s} \integral_{0}^{\infty}{2t*e^{-st} dt}[/mm]
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> 2. Stufe
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> u = 2t v' = [mm]e^{-st}[/mm]
>
> u' = 2 v = [mm]\bruch{1}{-s}*e^{-st}[/mm]
>
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> = [mm][t^2* \bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{s}*[2t*\bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{s}*\integral_{0}^{\infty}{2*\bruch{1}{-s}e^{-st} dt}[/mm]
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> = [mm][t^2* \bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{s}*[2t*\bruch{1}{-s}*e^{-st}]_0^\infty[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{s}*[\bruch{2}{s^2}*e^{-st}]_0^\infty[/mm]
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> = [mm][e^{-st}*(t^2*\bruch{1}{-s}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{s}*2t*\bruch{1}{-s}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{s}*\bruch{2}{s^2})]_0^\infty[/mm]
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> = [mm][e^{-st}*( -\bruch{t^2}{s}[/mm] - [mm]\bruch{2t}{s^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{2}{s^3})]_0^\infty[/mm]
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> = 0 - [mm](-\bruch{2}{s^3}[/mm]
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> = [mm]\bruch{2}{s^3}[/mm]
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> Ist das soweit richtig?
Ja, das stimmt
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