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Hallo alle zusammen,
wir mussten heute für F(r, [mm] \Phi, [/mm] z):=f(r [mm] cos(\Phi), [/mm] r [mm] \sin(\Phi), [/mm] z) die Ableitungen [mm] f_x, f_y [/mm] und [mm] f_z [/mm] in Abhängigkeit der Ableitungen von F nach r, [mm] \Phi [/mm] und z bestimmen (Zylinderkoordinaten).
Das kam dann da raus:
[mm] F_r=f_x*cos(\Phi) [/mm] + [mm] f_y*sin(\Phi)
[/mm]
[mm] F_{\Phi}= -f_x*r*sin(\Phi) [/mm] + [mm] f_y*r*cos(\Phi)
[/mm]
[mm] F_z [/mm] = [mm] f_z [/mm]
Umgeformt ergab sich dann:
[mm] f_x=F_r*cos(\Phi) [/mm] - [mm] \frac{1}{r}*F_{\Phi}*sin(\Phi)
[/mm]
[mm] f_y=F_r*sin(\Phi) [/mm] + [mm] \frac{1}{r}*F_{\Phi}*cos(\Phi)
[/mm]
[mm] f_z=F_z
[/mm]
So, bis hier ist alles klar.
Nun sollen aber auch noch [mm] f_{xx}, f_{yy} [/mm] und [mm] f_{zz} [/mm] bestimmt werden und damit der Laplace Operator bestätigt werden.
Als Ansatz wurde gemacht:
[mm] f_{xx}= \frac{\partial f_x}{\partial r}cos(\Phi) [/mm] - [mm] \frac{1}{r}*\frac{\partial f_x}{\partial \Phi}sin(\Phi) [/mm] = ...
[mm] f_{yy}= \frac{\partial f_y}{\partial r}sin(\Phi) [/mm] + [mm] \frac{1}{r}*\frac{\partial f_y}{\partial \Phi}cos(\Phi) [/mm] = ...
[mm] f_{zz}=F_{zz}
[/mm]
Wie kommt man auf den Ansatz?? Ich verstehe das z.B. bei [mm] f_{xx} [/mm] nicht, wie erhalte ich den Ansatz, wenn ich [mm] f_x [/mm] nochmal nach x ableiten will???
Warum ist [mm] f_{zz}=F_{zz} [/mm] klar??
Hoffe jemand kann helfen :p
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Do 10.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo alle zusammen,
> wir mussten heute für F(r, [mm]\Phi,[/mm] z):=f(r [mm]cos(\Phi),[/mm] r
> [mm]\sin(\Phi),[/mm] z) die Ableitungen [mm]f_x, f_y[/mm] und [mm]f_z[/mm] in
> Abhängigkeit der Ableitungen von F nach r, [mm]\Phi[/mm] und z
> bestimmen (Zylinderkoordinaten).
>
> Das kam dann da raus:
>
> [mm]F_r=f_x*cos(\Phi)[/mm] + [mm]f_y*sin(\Phi)[/mm]
> [mm]F_{\Phi}= -f_x*r*sin(\Phi)[/mm] + [mm]f_y*r*cos(\Phi)[/mm]
> [mm]F_z[/mm] = [mm]f_z[/mm]
>
> Umgeformt ergab sich dann:
>
> [mm]f_x=F_r*cos(\Phi)[/mm] - [mm]\frac{1}{r}*F_{\Phi}*sin(\Phi)[/mm]
> [mm]f_y=F_r*sin(\Phi)[/mm] + [mm]\frac{1}{r}*F_{\Phi}*cos(\Phi)[/mm]
> [mm]f_z=F_z[/mm]
>
> So, bis hier ist alles klar.
>
> Nun sollen aber auch noch [mm]f_{xx}, f_{yy}[/mm] und [mm]f_{zz}[/mm]
> bestimmt werden und damit der Laplace Operator bestätigt
> werden.
>
> Als Ansatz wurde gemacht:
>
> [mm]f_{xx}= \frac{\partial f_x}{\partial r}cos(\Phi)[/mm] -
> [mm]\frac{1}{r}*\frac{\partial f_x}{\partial \Phi}sin(\Phi)[/mm] =
> ...
>
>
>
> [mm]f_{yy}= \frac{\partial f_y}{\partial r}sin(\Phi)[/mm] +
> [mm]\frac{1}{r}*\frac{\partial f_y}{\partial \Phi}cos(\Phi)[/mm] =
> ...
>
>
> [mm]f_{zz}=F_{zz}[/mm]
>
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> Wie kommt man auf den Ansatz?? Ich verstehe das z.B. bei
> [mm]f_{xx}[/mm] nicht, wie erhalte ich den Ansatz, wenn ich [mm]f_x[/mm]
> nochmal nach x ableiten will???
> Warum ist [mm]f_{zz}=F_{zz}[/mm] klar??
Schau dir nochmal die Gleichung [mm]F(r, \Phi, z):=f(r \cos(\Phi), r \sin(\Phi), z)[/mm] an. Die Abhängigkeit von z ist dieselbe.
Zu den anderen Variablen: das ist nichts anderes als die Kettenregel, die auch bei der ersten Ableitung zur Anwendung kam:
[mm] \bruch{\partial f_x}{\partial x} = \bruch{\partial f_x}{\partial r}\bruch{\partial r}{\partial x} + \bruch{\partial f_x}{\partial \Phi}\bruch{\partial \Phi}{\partial x} [/mm] ,
[mm] \bruch{\partial r}{\partial x} = \bruch{\partial \sqrt{x^2+y^2}}{\partial x} = \bruch{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \bruch{x}{r} = \cos\Phi [/mm] ,
[mm] \bruch{\partial \Phi}{\partial x} = \bruch{\partial \arctan\bruch{y}{x}}{\partial x} = \bruch{1}{1+y^2/x^2} \bruch{-y}{x^2} = - \bruch{y}{x^2+y^2} = -\bruch{r\sin\Phi}{r^2} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Danke schonmal, jetzt wird es mir schon klarer, nur das kann ich gerade noch nicht ganz nachvollziehen:
> [mm]\bruch{\partial f_x}{\partial x} = \bruch{\partial f_x}{\partial r}\bruch{\partial r}{\partial x} + \bruch{\partial f_x}{\partial \Phi}\bruch{\partial \Phi}{\partial x} [/mm]
Wie genau setzen sich diese Teile zsuammen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Fr 11.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke schonmal, jetzt wird es mir schon klarer, nur das
> kann ich gerade noch nicht ganz nachvollziehen:
>
>
> > [mm]\bruch{\partial f_x}{\partial x} = \bruch{\partial f_x}{\partial r}\bruch{\partial r}{\partial x} + \bruch{\partial f_x}{\partial \Phi}\bruch{\partial \Phi}{\partial x}[/mm]
>
> Wie genau setzen sich diese Teile zsuammen?
Das ist die Kettenregel [mm] $D(f\circ g)(x_0) [/mm] = [mm] Df(g(x_0))*Dg(x_0)$. [/mm] f ist ist die Funktion [mm] $f_x$, [/mm] und g ist die Abbildung von kartesischen in Zylinderkoordinaten. Eigentlich muss da stehen
[mm]\bruch{\partial f_x}{\partial x} = \bruch{\partial f_x}{\partial r}\bruch{\partial r}{\partial x} + \bruch{\partial f_x}{\partial \Phi}\bruch{\partial \Phi}{\partial x} + \bruch{\partial f_x}{\partial z}\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] ,
aber [mm] $\bruch{\partial z}{\partial x}=0$, [/mm] also lässt man den Term gleich weg.
Viele Grüße
Rainer
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