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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 17.04.2010 | | Autor: | niandis |
| Aufgabe | | Beweisen Sie [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] = x + [mm] O_n(\bruch{1}{x}). [/mm] |
Hallo,
also wir haben neu die Landau Symbole besprochen und sollen nun diese Aufgabe lösen. Nur leider komme ich zu keiner Lösung.
Zu zeigen müsste ja nun sein, dass [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] - x = [mm] O_n(\bruch{1}{x}) [/mm] für x [mm] \rightarrow \infty [/mm] ist. Also nach unserer Definition von [mm] O_n [/mm] dass [mm] \bruch{||\wurzel{i+x^2} - x||}{||\bruch{1}{x}||} \le [/mm] einer Konstanten ist. An dieser Stelle komme ich nicht weiter! ich habe schon versucht den Bruch auf allmögliche Weise umzustellen, aber nichts hat mir weiter geholfen. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand von euch helfen oder einen kleinen Tipp geben könnte.
Danke schonmal!
Liebe grüße!
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Hallo,
> Beweisen Sie [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] = x + [mm]O_n(\bruch{1}{x}).[/mm]
> Hallo,
> also wir haben neu die Landau Symbole besprochen und
> sollen nun diese Aufgabe lösen. Nur leider komme ich zu
> keiner Lösung.
> Zu zeigen müsste ja nun sein, dass [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] - x =
> [mm]O_n(\bruch{1}{x})[/mm] für x [mm]\rightarrow \infty[/mm] ist. Also nach
> unserer Definition von [mm]O_n[/mm] dass [mm]\bruch{||\wurzel{i+x^2} - x||}{||\bruch{1}{x}||} \le[/mm]
> einer Konstanten ist.
Tipp:
[mm] $\sqrt{1+x^{2}} [/mm] - x [mm] =(\sqrt{1+x^{2}} [/mm] - x)* [mm] \frac{\sqrt{1+x^{2}} + x}{\sqrt{1+x^{2}} + x} [/mm] = [mm] \frac{1}{x + \sqrt{1+x^{2}}} [/mm] < [mm] 1*\frac{1}{x}$
[/mm]
für x > 0.
Grüße,
Stefan
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