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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Di 04.01.2005 | | Autor: | VHN |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, Leute!
Könnt ihr mir sagen oder zeigen, wie ich diese Aufgabe löse?
Wenn ich die verstehe, kann ich, hoffe ich mal, auch die anderen lösen.
Vielen Dank!
[mm] \bruch{1}{2} (e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm] = x + [mm] \bruch{1}{6} x^{3} [/mm] + [mm] o(x^{3}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
Ich soll nämlich zeigen, dass diese Gleichung gilt.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Guten Rutsch noch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Könnt ihr mir sagen oder zeigen, wie ich diese Aufgabe
> löse?
> Wenn ich die verstehe, kann ich, hoffe ich mal, auch die
> anderen lösen.
> Vielen Dank!
>
> [mm]\bruch{1}{2} (e^{x}[/mm] - [mm]e^{-x})[/mm] = x + [mm]\bruch{1}{6} x^{3}[/mm] +
> [mm]o(x^{3})[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0
>
> Ich soll nämlich zeigen, dass diese Gleichung gilt.
> Vielen Dank für eure Hilfe!
ich befürchte zwar, dass dich meine antwort nicht wirklich näher an die bedeutung der landau-symbole hernaführt, aber ich gebe sie trotzdem mal.
sagt dir taylor-entwicklung was? und kennst du die potenzreihen-darstellung der $e$-funktion:
[m] e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} [/m]?
das landau symbol [m] o(x^3) [/m] sagt jetzt nur, dass in einer kleinen umgebung alle funktionen höheren ordnung darin verschwinden (also, z.b. [m] x^4, x^{100}, x^\frac{5}{2} [/m], ...).
also kannst du die potenzreihen-entwicklung hernehemen und nach dem [mm] $x^3$-glied [/mm] abschneiden, denn alle terme dahinter haben "höhere ordnung", also ist [m] e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) [/m] um die entwicklung von [m] e^{-x} [/m] zu erhalten kannst du jetzt einfach in der obigen entwicklung [m] x [/m] durch [m] - x [/m] ersetzen. in manchen fällen hebt sich die $-$ heraus in anderen nicht. danach ziehst du einfach die taylor-entwicklungen voneinader ab und erhälst eine taylorentwicklung für [m] e^x - e^{-x} [/m] - dabei muss man nur noch beachten, dass "[m] o(x^3) + o(x^3) = o(x^3) [/m]". dann noch alle koeffizienten durch [m] 2 [/m] teilen und du hast das gewünschte resultat!
wenn du nicht weiterkommst oder noch weiteres willst kannst du dich ja mit ansätzen mal melden.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mi 05.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Andreas!
Danke für deine Hilfe. Ich glaub, ich hab verstanden, was du mir erklärt hast.
Wir haben zwar die Taylor-Entwicklung noch nicht durchgenommen, aber ich habs verstanden.
Allerdings hätte ich noch einige Fragen dazu. Und zwar:
1. Gilt diese Entwicklung hier
[mm] e^{x} [/mm] = 1 + x + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^{3}}{6} [/mm] + [mm] o(x^{3}) [/mm] nur für x [mm] \to [/mm] 0, oder auch für x [mm] \to \infty?
[/mm]
2. Stimmt diese Entwicklung von [mm] e^{-x}?
[/mm]
[mm] e^{-x} [/mm] = 1 - x + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{6} [/mm] - [mm] o(x^{3}) [/mm]
Wenn ja, dann versteh ich aber noch nicht ganz, warum vor dem [mm] o(x^{3}) [/mm] ein Minuszeichen kommt? Wenn da nämlich ein Plus stehen würde, käme nach dem Subtrahieren von [mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] nicht [mm] "o(x^{3}) [/mm] + [mm] o(x^{3})" [/mm] raus, sondern [mm] "o(x^{3}) [/mm] - [mm] o(x^{3})". [/mm] Und das wäre doch Null, oder?
Ich hoffe, du verstehst, was ich meine. Nochmals danke für deine Hilfe!
Ciao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Danke für deine Hilfe. Ich glaub, ich hab verstanden, was
> du mir erklärt hast.
> Wir haben zwar die Taylor-Entwicklung noch nicht
> durchgenommen, aber ich habs verstanden.
> Allerdings hätte ich noch einige Fragen dazu. Und zwar:
>
> 1. Gilt diese Entwicklung hier
> [mm]e^{x}[/mm] = 1 + x + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{x^{3}}{6}[/mm] +
> [mm]o(x^{3})[/mm] nur für x [mm]\to[/mm] 0, oder auch für x [mm]\to \infty?
[/mm]
die entwicklung der $e$-funktion stimmt schonmal. diese gilt aber natürlich nur für den entwicklungspunkt, hier also für [m] x \to 0 [/m]. diese schreibweise mit den landau-symbolen ist ja eine sehr lokale eigenschft. ich kenne eure definition zwar nicht (du kannst die ja mal angeben?), doch in der regel fängt die ja mit [m] }\forall \, \varepsilon >0 \; \exists \, \delta > 0 ... [/m], so dass in dieser kleinen [mm] $\delta$-umgebung [/mm] eine gewisse ungleichung gilt. und in diesem fall sagt das [mm] $o(x^3)$ [/mm] eben nur, dass es eine umgebung um die $0$ gibt, so dass [m]1 + x + \bruch{x^{2}}{2} + \bruch{x^{3}}{6}[/m] eine "gute" näherung für die $e$-funktion ist, da sich alle polynome höhern als $3$.-grades natürlich "langsamer" in der umgebung der null verändern als konstanten, lineare, quadratische oder kubische polynome (zeichne dir mal [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $x^4$ [/mm] in einer kleinen (z.b. [mm] $\delta [/mm] = 0.5$) umgebung der null und schaue, was sich stärker verändert)!
> 2. Stimmt diese Entwicklung von [mm]e^{-x}?
[/mm]
> [mm]e^{-x}[/mm] = 1 - x + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] - [mm]\bruch{x^{3}}{6}[/mm] -
> [mm]o(x^{3})[/mm]
> Wenn ja, dann versteh ich aber noch nicht ganz, warum vor
> dem [mm]o(x^{3})[/mm] ein Minuszeichen kommt? Wenn da nämlich ein
> Plus stehen würde, käme nach dem Subtrahieren von [mm]e^{x}[/mm] und
> [mm]e^{-x}[/mm] nicht [mm]"o(x^{3})[/mm] + [mm]o(x^{3})"[/mm] raus, sondern [mm]"o(x^{3})[/mm]
> - [mm]o(x^{3})".[/mm] Und das wäre doch Null, oder?
bis auf das [m] - o(x^3) [/m] stimmt das. die landau-symbole werden immermit einem "+" angefügt und ändern sich durch den übergang von $x$ zu $-x$ nicht. da dreht sich quasi der "ausschlag" des fehlers um, jedoch ändert sich der betrag des fehlers nicht und die landau-symbole machen nur eine aussage über den betrag des fehlers. schau dir am besten nochmal die definition an!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Fr 07.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Andreas!
Ich bin mir bei einer Sache noch unsicher, und wollt dich deshalb fragen, ob es so stimmt, wie ich denke.
Es gilt doch:
[mm] e^{x} [/mm] = 1 + x + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^{3}}{6} [/mm] + [mm] o(x^{3})
[/mm]
[mm] e^{-x} [/mm] = 1 - x + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{6} [/mm] + [mm] o(x^{3})
[/mm]
Wenn ich [mm] "e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x}" [/mm] berechne, kommt doch folgendes raus:
[mm] e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] = 2x + [mm] \bruch{x^{3}}{3} [/mm] + [mm] o(x^{3}) [/mm] - [mm] o(x^{3})
[/mm]
[mm] o(x^{3}) [/mm] - [mm] o(x^{3}) [/mm] ist doch 0, oder?
Dann kommt aber nicht
[mm] e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] = 2x + [mm] \bruch{x^{3}}{3} [/mm] + [mm] o(x^{3}) [/mm] raus, wie es sollte.
Ich weiß zwar, dass [mm] o(x^{3}) [/mm] + [mm] o(x^{3}) [/mm] = [mm] o(x^{3}) [/mm] ist, aber gilt auch
[mm] o(x^{3}) [/mm] - [mm] o(x^{3}) [/mm] = [mm] o(x^{3}) [/mm] ?
Oder gibt es da eine Rechenregel, die ich nicht kenne?
Ich hab das nicht so verstanden, drum hat es mich so verwirrt.
Danke für deine Hilfe!
Ciao!
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