Lambertsche W-Funktion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 23.10.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | | Der Wert der Lambertschen W-Funktion an der Stelle x ist die reelle Lösung der Gleichung [mm] y\*exp(x)=x, [/mm] sofern diese existiert und eindeutig ist; kurz W(x)=y. Sonst sei die W-Funktion nicht definiert. Kann - zumindestens für einige geeignete Werte der Zahlen A und B - die Lösung der Gleichung [mm] A=x+B\*exp(-x) [/mm] mit Hilfe der W-Funktion in geschlossener Form angegeben werden? |
Hallo,
ich glaube bei der Aufgabe muss ich einfach erstmal die Gleichun in die Form [mm] x\*exp(x)=y [/mm] überführen, da liegt aber mein Problem, ich weiß nicht wie ich das anfange.
Für einen Hinweis wäre ich dankbar.
Zweiti
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> Der Wert der Lambertschen W-Funktion an der Stelle x ist
> die reelle Lösung der Gleichung [mm]y\*exp(x)=x,[/mm] sofern diese
> existiert und eindeutig ist; kurz W(x)=y. Sonst sei die
> W-Funktion nicht definiert.
Hallo Zweiti,
diese "Definition" der W-Funktion ist nicht richtig.
Sie müsste z.B. so formuliert sein:
Der Wert der Lambertschen W-Funktion an der Stelle x ist
die reelle Lösung y der Gleichung [mm]y*exp(y)=x,[/mm] sofern diese
existiert und eindeutig ist. In diesem Fall ist W(x)=y.
Sonst sei die W-Funktion nicht definiert.
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> Kann - zumindestens für einige geeignete Werte der
> Zahlen A und B - die Lösung der Gleichung
> [mm]A=x+B\*exp(-x)[/mm]
> mit Hilfe der W-Funktion in geschlossener Form ange-
> geben werden?
Ja, das geht:
[mm] A=x+B*e^{-x}
[/mm]
[mm] A-x=B*e^{-x}
[/mm]
[mm] (A-x)*e^x=B
[/mm]
Substitution: x-A=u , d.h. x=u+A
[mm] -u*e^{u+A}=B
[/mm]
[mm] u*e^{u}=-B*e^{-A}
[/mm]
[mm] u=W(-B*e^{-A})
[/mm]
[mm] x=W(-B*e^{-A})+A
[/mm]
Gruß
Bemerkung:
im Reellen ist die W-Funktion eindeutig definiert
(wie in der Definition gefordert wurde), falls das
Argument nicht-negativ ist. Dies würde für die
vorliegende Gleichung also bedeuten: x ist ein-
deutig bestimmt genau dann, wenn [mm] -B*e^{-A}\ge [/mm] 0
oder, was damit gleichbedeutend ist: [mm] B\le [/mm] 0
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