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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Di 27.10.2009 | | Autor: | g0ddy |
| Aufgabe | | Gegeben ist [mm] z(x,y)=x^2+y^2. [/mm] Das Maximum der Funktion mit der Nebenbedingung y=1-x soll mit Hilfe des Lagrangeschen Multiplikationsverfahrens ermittelt werden. |
Ich hab bisher folgendes gemacht:
Nebenbedingung umgeformt nach :
0 = 1-x-y = g(x,y)
Extremwertbedingung für z(x,y):
dz = [mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] dx [mm] +\bruch{\partial z}{\partial y} [/mm] dy = 0
Extremwertbedingung für g(x,y):
dg = [mm] \bruch{\partial g}{\partial x} [/mm] dx [mm] +\bruch{\partial g}{\partial y} [/mm] dy = 0
Zusammenfassen der beiden Bedingungen:
[mm] (\bruch{\partial z}{\partial x}+\lambda\bruch{\partial g}{\partial x}) [/mm] dx + [mm] (\bruch{\partial z}{\partial y}+\lambda\bruch{\partial g}{\partial y}) [/mm] dy = 0
Einsetzen:
[mm] (\bruch{(x^2+y^2)}{\partial x}+\lambda\bruch{(1-x-y)}{\partial x}) [/mm] dx + [mm] (\bruch{(x^2+y^2)}{\partial y}+\lambda\bruch{(1-x-y)}{\partial y}) [/mm] dy = 0
Ausrechnen:
(2x - [mm] \lambda) [/mm] dx + (2y [mm] -\lambda) [/mm] dy = 0
Durch das Substitutionsverfahren kommt man natürlich leicht ans Ziel. Ich habe daraus die Lösung Pext: [mm] (\bruch{1}{2}/\bruch{1}{2}/\bruch{1}{2}) [/mm] erhalten. Das Langrangesche Multiplikationsverfahren habe ich aber trotz mehrmaliger Versuche nicht verstanden. Könnte mir es jemand anhand des obigen Beispiels einmal vorrechnen?
Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo g0ddy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist [mm]z(x,y)=x^2+y^2.[/mm] Das Maximum der Funktion mit
> der Nebenbedingung y=1-x soll mit Hilfe des Lagrangeschen
> Multiplikationsverfahrens ermittelt werden.
> Ich hab bisher folgendes gemacht:
>
> Nebenbedingung umgeformt nach :
> 0 = 1-x-y = g(x,y)
>
> Extremwertbedingung für z(x,y):
> dz = [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] dx [mm]+\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm]
> dy = 0
>
> Extremwertbedingung für g(x,y):
> dg = [mm]\bruch{\partial g}{\partial x}[/mm] dx [mm]+\bruch{\partial g}{\partial y}[/mm]
> dy = 0
>
> Zusammenfassen der beiden Bedingungen:
> [mm](\bruch{\partial z}{\partial x}+\lambda\bruch{\partial g}{\partial x})[/mm]
> dx + [mm](\bruch{\partial z}{\partial y}+\lambda\bruch{\partial g}{\partial y})[/mm]
> dy = 0
>
> Einsetzen:
> [mm](\bruch{(x^2+y^2)}{\partial x}+\lambda\bruch{(1-x-y)}{\partial x})[/mm]
> dx + [mm](\bruch{(x^2+y^2)}{\partial y}+\lambda\bruch{(1-x-y)}{\partial y})[/mm]
> dy = 0
>
> Ausrechnen:
>
> (2x - [mm]\lambda)[/mm] dx + (2y [mm]-\lambda)[/mm] dy = 0
>
> Durch das Substitutionsverfahren kommt man natürlich
> leicht ans Ziel. Ich habe daraus die Lösung Pext:
> [mm](\bruch{1}{2}/\bruch{1}{2}/\bruch{1}{2})[/mm] erhalten. Das
> Langrangesche Multiplikationsverfahren habe ich aber trotz
> mehrmaliger Versuche nicht verstanden. Könnte mir es
> jemand anhand des obigen Beispiels einmal vorrechnen?
Führe die Funktion
[mm]L\left(x,y,\lambda\right)=z\left(x,y\right)+\lambda*g\left(x,y\right)[/mm]
ein.
Berechne dann die Lösungsmenge des Gleichungssystems
[mm]\bruch{\partial L\left(x,y,\lambda\right)}{\partial x}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L\left(x,y,\lambda\right)}{\partial y}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial L\left(x,y,\lambda\right)}{\partial \lambda}=0[/mm]
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> Danke im Vorraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Di 27.10.2009 | | Autor: | g0ddy |
[mm] \bruch{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial x} [/mm] = [mm] x^2+y^2+\lambda(1-x-y)=x^2+y^2+\lambda-x\lambda-y\lambda
[/mm]
I [mm] \bruch{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial x}= 2x-\lambda [/mm] = 0
II [mm] \bruch{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial y}= 2y-\lambda [/mm] = 0
III [mm] \bruch{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial \lambda}= [/mm] 1-x-y = 0
III y = 1-x einsetzen in II:
[mm] 2(1-x)-\lambda [/mm] = 0
[mm] 2-2x-\lambda=0
[/mm]
[mm] x=\bruch{2-\lambda}{2}
[/mm]
x einsetzen in I:
[mm] 2(\bruch{2-\lambda}{2})-\lambda [/mm] = 0
[mm] 2-\lambda-\lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] = 1
einsetzen in II:
2y-1=0
[mm] y=\bruch{1}{2}
[/mm]
einsetzen in I:
2x-1=0
[mm] x=\bruch{1}{2}
[/mm]
Super Tipp :>, ich hoffe, dass das so richtig ist. Es kommt ja zumindest das gleiche raus, was ich auch mit dem Substitutionsverfahren bekommen habe.
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