Lagrangemultiplikatoren < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Fr 23.01.2009 | | Autor: | uecki |
| Aufgabe | Berechnen Sie den kleinsten und grössten Abstand vom Ursprung zur Ellipse
h(x,y)= [mm] x^2 [/mm] + 3xy [mm] +2y^2 [/mm] -4 = 0
(Hinweis: Machen Sie sich die Problemstellung zuerst grafisch klar und berücksichtigen Sie, dass die Wuzelfunktion monoton ist.) |
Hallo,
ich habe zu der Aufgabe eine Lösung. Und man geht von Anfang an von der Zielfunktion f(x,y)= [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] aus. Und das verstehe ich nicht. Wie kommt man darauf? Wahrscheinlich irgendwie durch die Nebenbedingung h(x,y) ?
Lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Fr 23.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den kleinsten und grössten Abstand vom
> Ursprung zur Ellipse
> h(x,y)= [mm]x^2[/mm] + 3xy [mm]+2y^2[/mm] -4 = 0
>
> (Hinweis: Machen Sie sich die Problemstellung zuerst
> grafisch klar und berücksichtigen Sie, dass die
> Wuzelfunktion monoton ist.)
> Hallo,
>
> ich habe zu der Aufgabe eine Lösung. Und man geht von
> Anfang an von der Zielfunktion f(x,y)= [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] aus. Und
> das verstehe ich nicht. Wie kommt man darauf?
> Wahrscheinlich irgendwie durch die Nebenbedingung h(x,y) ?
> Lg
Sei (x,y) ein Punkt auf der Ellipse. Sein Abstand d(x,y) vom Ursprung ist doch gerade
$d(x,y) = [mm] \wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
Diesen Abstand sollst Du minimieren und maximieren. Nun überlege Dir:
die Funktion d wird in einem Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] am kleinsten (bzw. größten)
[mm] \gdw [/mm]
die Funktion [mm] d^2 [/mm] wird in [mm] (x_0,y_0) [/mm] am kleinsten (bzw. größten).
Es ist [mm] d^2(x,y) [/mm] = [mm] x^2+y^2.
[/mm]
Nun wirst Du vielleicht fragen: warum nimmt man [mm] d^2 [/mm] und nicht d ?
Antwort: mit [mm] d^2 [/mm] lässt sich viel bequemer rechnen und man hat auch keinen Ärger mit der Differenzierbarkeit. Bedenke: die Wurzelfkt. ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.
FRED
|
|
|
|
