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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 17.02.2012 | | Autor: | tymy |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Extrema folgender Extreme mit Nebenbedingungen
f (x, y) = 4x+2y NB : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] / 4 - 2x - 2y = 3 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo Leute,
Ich schreibe eine sehr wichtige Klausur und rechne momentan Klausuraufgaben. Nun ist diese Aufgabe aufgekommen und ich weiß wie man Lagrange berechnet in den einzelnen Schritten. Auch die Hesse Matrix kann ich aufstellen. Aber ich frage mich, wie man die Nebenbedingung umstellt und dann nach x und nach y ableitet.
WIE KOMME ICH AUF Lx und Ly ( Insbesondere nach dem Lambda. Ich glaube ich stelle nämlich die Nebenbedingung falsch um und oder leite falsch ab etc. Kann da jemand helfen?
Ich habe nämlich den Nenner mit der 3 Multipliziert und dann alles auf eine Seite gebracht. Dann kommt bei mir raus: [mm] x^2-y^2-12-6x-6y=0
[/mm]
Wenn ich das nun nach Lx ableite , nachdem ich L(x,y,L) aufgestellt habe , komme ich auf : 4 + L*(2x-6) aber rauskommen soll: 4 + L * (2x-2)
Grüße
tymy
Die Ergebnisse der Aufgabe lauten:
Lagrange: L (x, y, L) = 4x+2y+L×( x2+y2 /4-2x-2y-3 ), Lx = 4+L×(2x-2), Ly = 2+L×(y/2-2),
Lxx = 2L, Lxy = 0, LxL = 2x-2, Lyy = l/2, LyL = y/2-2, (3, 8) Max., (-1, 0) Min.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Fr 17.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo tymy,
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema folgender Extreme mit
> Nebenbedingungen
>
> f (x, y) = 4x+2y NB : [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] / 4 - 2x - 2y = 3
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hallo Leute,
>
> Ich schreibe eine sehr wichtige Klausur und rechne momentan
> Klausuraufgaben. Nun ist diese Aufgabe aufgekommen und ich
> weiß wie man Lagrange berechnet in den einzelnen
> Schritten. Auch die Hesse Matrix kann ich aufstellen. Aber
> ich frage mich, wie man die Nebenbedingung umstellt und
> dann nach x und nach y ableitet.
>
> WIE KOMME ICH AUF Lx und Ly ( Insbesondere nach dem Lambda.
> Ich glaube ich stelle nämlich die Nebenbedingung falsch um
> und oder leite falsch ab etc. Kann da jemand helfen?
>
> Ich habe nämlich den Nenner mit der 3 Multipliziert und
> dann alles auf eine Seite gebracht. Dann kommt bei mir
> raus: [mm]x^2-y^2-12-6x-6y=0[/mm]
welchen Nenner hast du warum mit 3 multipliziert? Das erschließt sich mir nicht!
>
> Wenn ich das nun nach Lx ableite , nachdem ich L(x,y,L)
> aufgestellt habe , komme ich auf : 4 + L*(2x-6) aber
> rauskommen soll: 4 + L * (2x-2)
>
> Grüße
> tymy
Schreibe doch einfach mal [mm]\math{L(x,y,L)}[/mm] hin. Besser ist, du verwendest nicht dieselben Buchstaben für die Funktion und als Argument. Besser:
[mm]L(x,y,\lambda)[/mm]
Wie sieht [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] aus? Ich denke, da hast du einen Fehler gemacht. Es ist
[mm]L(x,y,\lambda)=4x+2y+\lambda*(x^2+\bruch{1}{4}y^2-2x-2y-3)[/mm]
Dann ist z.B.
[mm]L_x=4+2\lambda*x-2\lambda=4+\lambda*(2x-2)[/mm].
>
> Die Ergebnisse der Aufgabe lauten:
> Lagrange: L (x, y, L) = 4x+2y+L×( x2+y2 /4-2x-2y-3 ), Lx =
> 4+L×(2x-2), Ly = 2+L×(y/2-2),
> Lxx = 2L, Lxy = 0, LxL = 2x-2, Lyy = l/2, LyL = y/2-2, (3,
> 8) Max., (-1, 0) Min.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Fr 17.02.2012 | | Autor: | tymy |
Hi,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Das klingt jetzt vielleicht lächerlich und mag daran liegen das ich schon seit 9 Stunden am lernen bin, aber wie kommst du auf den letzten Teil wenn du die Langrange Formel aufstellst? Kannst du mir sagen, wie du die Nebenbedingung umgestellt hast? Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch..
Grüße
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Hallo tymy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hi,
>
> erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Das klingt jetzt vielleicht lächerlich und mag daran
> liegen das ich schon seit 9 Stunden am lernen bin, aber wie
> kommst du auf den letzten Teil wenn du die Langrange Formel
> aufstellst? Kannst du mir sagen, wie du die Nebenbedingung
> umgestellt hast? Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch..
>
Die Nebenbedingung ist auf die Form, "...=0" gebracht worden.
Liegt die Nebenbedingung in der Form ls=rs vor,
so wird sie durch simple Umformung auf die Form ls-rs=0 gebracht.
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 17.02.2012 | | Autor: | tymy |
Hallo,
Okay das wäre schon mal verstanden. Tut mir leid wenn ich nochmal Frage, aber kannst Du mir vielleicht die Schritte nennen, wie ich von [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] /(Bruchstrich) 4-2x-2y = 3
auf [mm] (x^2+1/4x [/mm] ... ) komme?
Gruß> Hallo tymy,
>
>
>
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> > Hi,
> >
> > erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
> >
> > Das klingt jetzt vielleicht lächerlich und mag daran
> > liegen das ich schon seit 9 Stunden am lernen bin, aber wie
> > kommst du auf den letzten Teil wenn du die Langrange Formel
> > aufstellst? Kannst du mir sagen, wie du die Nebenbedingung
> > umgestellt hast? Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch..
> >
>
>
> Die Nebenbedingung ist auf die Form, "...=0" gebracht
> worden.
>
> Liegt die Nebenbedingung in der Form ls=rs vor,
> so wird sie durch simple Umformung auf die Form ls-rs=0
> gebracht.
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> > Grüße
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Fr 17.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo,
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> Okay das wäre schon mal verstanden. Tut mir leid wenn ich
> nochmal Frage, aber kannst Du mir vielleicht die Schritte
> nennen, wie ich von [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] /(Bruchstrich) 4-2x-2y = 3
>
> auf [mm](x^2+1/4x[/mm] ... ) komme?
naja, du hast doch
[mm]x^2+\bruch{1}{4}*y^2-2x-2y=3[/mm].
Die Gleichung ist jetzt - wie von MathePower erwähnt - auf die Form "...=0" zu bringen:
[mm]x^2+\bruch{1}{4}*y^2-2x-2y=3[/mm] du subtrahierst auf beiden Seiten 3 und erhälst
[mm]x^2+\bruch{1}{4}*y^2-2x-2y-3=0[/mm]
Nun kannst du dir [mm]g(x,y):=x^2+\bruch{1}{4}*y^2-2x-2y-3[/mm] definieren. Die Lagrangefunktion hat dann die Form
[mm]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda*g(x,y)[/mm].
Gruß
barsch
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:29 Fr 17.02.2012 | | Autor: | tymy |
Ich bin schon total bescheuert.. Langsam zweifel ich.
Ich habe ja einen langen Bruch Im Zähler steht: [mm] x^2+y^2
[/mm]
und im Nenner steht : 4-2x-2y
Auf der rechten Seite steht = 3
Wie hast du geteilt bzw umgeformt um auf
$ [mm] x^2+\bruch{1}{4}\cdot{}y^2-2x-2y=3 [/mm] $ zu kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Fr 17.02.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Ich bin schon total bescheuert.. Langsam zweifel ich.
>
> Ich habe ja einen langen Bruch Im Zähler steht: [mm]x^2+y^2[/mm]
> und im Nenner steht : 4-2x-2y
Sowas habe ich schon befürchtet!
Aus deinem ersten Post geht hervor
> [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] / 4 - 2x - 2y = 3
das ist: [mm]x^2+\bruch{1}{4}*y^2-2x-2y=3[/mm]
Das ist natürlich was anderes als:
[mm]\bruch{x^2+y^2}{4-2x-2y}=3[/mm]
Wenn du das meinst, musst du Klammern setzen: [mm](x^2 [/mm] + [mm] y^2)/( 4 - 2x - 2y)=3[/mm]
Um solche Missverständnisse zu vermeiden, einfach den Formeleditor verwenden.
Wenn du jetzt
[mm]\bruch{x^2+y^2}{4-2x-2y}=3[/mm] meinst, dann kannst du natürlich erst einmal auf beiden Seiten mit [mm](4-2x-2y)[/mm] multiplizieren.
Dann steht dort: [mm]x^2+y^2=3*(4-2x-2y)[/mm]
Klammer auflösen: [mm]x^2+y^2=12-6x-6y[/mm]
Auf die Form "...=0" bringen: [mm]x^2+y^2-12+6x+6y=0[/mm]
Nun ist [mm]L(x,y,\lambda)=4x+2y+\lambda*(x^2+y^2-12+6x+6y)[/mm]
Und somit [mm]L_x=4+2\lambda*x+6\lambda[/mm]
Um die Sache jetzt völlig durcheinander zu bringen:
> Die Ergebnisse der Aufgabe lauten:
> Lagrange: L (x, y, L) = 4x+2y+L×( x2+y2 /4-2x-2y-3 ), Lx = 4+L×(2x-2), Ly = 2+L×(y/2-2),
> Lxx = 2L, Lxy = 0, LxL = 2x-2, Lyy = l/2, LyL = y/2-2, (3, 8) Max., (-1, 0) Min.
Diese Lösungen beziehen sich aber auf die Nebenbedingung der Form [mm] $x^2+\bruch{1}{4}*y^2-2x-2y=3$.
[/mm]
Und jetzt? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Verwirrung komplett! ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Fr 17.02.2012 | | Autor: | tymy |
Ich könnte meinen Professor gerade... Ich danke Euch vielmals. Kann sein das in den näcshten Tagen noch eine Frage zu nem anderen Thema kommt.
Der Professor hat wohl tatsächlich deine Urspüngliche Form gemeint wie du sie auch schon als erstes notiert hast.
Hab wohl falsch gelesen ...
Schönes Wochenende
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