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Lagrange-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mo 12.04.2021
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Aufgabe:  Die Lagerkapazitäten eines Unternehmens sind aufgrund von Umbauarbeiten für eine bestimmte Zeit eingeschränkt.  Die normale Gewinnfunktion lautet:
       f(x,y)  =  160x – 3x² - xy – 2y² + 240y – 665
mit   x = Menge von Produkt 1   und   y = Menge von Produkt 2 .  Die eingeschränkte Lagerfläche beträgt nun 40m².  Produkt 1  benötigt  1m²  und Produkt 2  benötigt  2m²  Lagerfläche pro Einheit.  Gesucht sind die Mengen beider Produkte, die unter Berücksichtigung der eingeschränkten Lagerfläche zum maximalen Gewinn führen.

Lösung der Aufgabe mithilfe des Lagrange-Verfahrens:

1)   die Lagrange-Funktion haben wir schon ermittelt:
              L(x,y,λ)  =  160x – 3x² - xy – 2y² + 240y – 665 + λ (x + 2y – 40)

2)   Für die ersten partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion gilt:  
(∂L(x,y,λ))/∂x  =  160 – 6x – y + λ                                          (8)
(∂L(x,y,λ))/∂y  =   – x – 4y + 240 + 2λ                                     (9)
(∂L(x,y,λ))/∂λ  =  x + 2y - 40                                                 (10)

3)   Wir müssen die ersten partiellen Ableitungen  gleich  Null  setzen:
                160 – 6x – y + λ = 0                                                                    (8)
                 – x – 4y + 240 + 2λ = 0                                                               (9)
                 x + 2y – 40 = 0                                                                           (10)


Der Taschenrechner liefert die Lösung:       x = 10    y = 15     λ = – 85
In der zur Aufgabe gehörigen Lösung steht:
Unter der Annahme, dass die stationäre Stelle  [mm] (x_0, y_0) [/mm] = (10,15)  zum Gewinnmaximum führt, handelt es sich um die gesuchte Maximalstelle.

Meine Frage dazu:
Ist Folgendes richtig?:  mithilfe der Lagrange-Funktion kann ich nur die stationäre Stelle (den Kandidaten für Minimum oder Maximum) ermitteln.
Ob es ein Minimum oder ein Maximum ist, liefert die Lagrange-Funktion jedoch nicht.
D.h.  für die Maximum-Bestimmung  kann ich mit der Lagrange-Funktion nur die notwendige Bedingung bearbeiten, nicht die hinreichende.
Ist das richtig so? Kann ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegen wie im eindimesionalen


        
Bezug
Lagrange-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 12.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Frage dazu:
>  Ist Folgendes richtig?:  mithilfe der Lagrange-Funktion
> kann ich nur die stationäre Stelle (den Kandidaten für
> Minimum oder Maximum) ermitteln.

Nein.

>  Ob es ein Minimum oder ein Maximum ist, liefert die
> Lagrange-Funktion jedoch nicht.

Doch, wenn du weiter machen würdest und die zweite Ableitung untersuchst, kannst du auch darüber Aussagen treffen.

>  D.h.  für die Maximum-Bestimmung  kann ich mit der
> Lagrange-Funktion nur die notwendige Bedingung bearbeiten,
> nicht die hinreichende.
>  Ist das richtig so? Kann ein Minimum, ein Maximum oder ein
> Sattelpunkt vorliegen wie im eindimesionalen

Das Vorgehen wäre genauso wie im Eindimensionalen: Zweite Ableitung untersuchen.
Das ist hier halt die Hesse-Matrix.

Gruß,
Gono

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