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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Lagrange-Restglied
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Lagrange-Restglied: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:36 Mi 16.04.2008
Autor: penguin

Aufgabe
Zeige, dass cos : [mm] \IR \to \IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] durch die Taylorreihe in [mm] x_0 [/mm] dargestellt wird, d.h bezeichnet [mm] T_{x_{0},n} [/mm] das n-te Taylorpolynom der cos-Funktion in [mm] x_0, [/mm] so gilt [mm] T_{x_{0},n}(x) \to [/mm] cos(x) fuer n [mm] \to \infty [/mm] und jedes x [mm] \in \IR. [/mm]
(Tip Lagrange-Restglied)

Ich muss ja hier zeigen, dass das Restglied gleich Null ist, nur ich weiss nicht genau wie. Die Formel fuer das Lagrange-Restglied ist ja

[mm] \bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}*f^{n+1} (\gamma) [/mm]

und wenn ich dann die Funktion cosinus einsetzte komme ich ja auf

[mm] \bruch{(x-x_0)^{(n+1)}}{(n+1)!}*cos^{n+1} (\gamma) [/mm]

nur mir ist hier ja nichts so richtig gegeben...

kann mir viell jemand einen kleinen Tip geben....

lg penguin

        
Bezug
Lagrange-Restglied: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 18.04.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Bezug
Lagrange-Restglied: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Fr 18.04.2008
Autor: HJKweseleit

Du weißt doch, dass [mm]cos^{n+1} (\gamma)[/mm] betragsmäßig kleiner als 1 ist, da es der [mm] \pm [/mm] sin oder [mm] \pm [/mm] cos ist. Und das hilft doch schon weiter...


Bezug
                
Bezug
Lagrange-Restglied: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Fr 18.04.2008
Autor: Dunkit

hm nein, also mir hilft das leider nicht... Habe das selbe Problem.
Ich muss doch zeigen, dass das Restglied gegen 0 konvergiert, oder?

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Lagrange-Restglied: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Fr 18.04.2008
Autor: felixf

Hallo

> hm nein, also mir hilft das leider nicht... Habe das selbe
> Problem.

Doch, das hilft.

>  Ich muss doch zeigen, dass das Restglied gegen 0
> konvergiert, oder?

Ja. Jetzt nimm doch mal ein festes $x$. Wenn du ein $n$ hast, wie kannst du dann [mm] $\frac{(x - x_0)^{n + 1}}{(n + 1)!} \cos^{(n+1)}(\gamma)$ [/mm] nach oben Abschaetzen? Schauen wir uns dochmal die Faktoren an.

Beim ersten, $(x - [mm] x_0)^{n+1}$, [/mm] hast du halt sowas wie Konstante hoch $n + 1$. Der zweite ist [mm] $\frac{1}{(n + 1)!}$. [/mm] Das waechst schonmal recht schnell. Die beiden zusammen kannst du ja erstmal anschauen, wie verhaelt sich das fuer $n [mm] \to \infty$? [/mm] (Tipp: es ist ja z.B. [mm] $\frac{a^6}{6!} [/mm] = [mm] \frac{a}{1} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdots \frac{a}{6}$.) [/mm]

Und das dritte ist [mm] $\cos^{(n+1)}(\gamma)$. [/mm] Wie sieht denn [mm] $\cos^{(n+1)}$ [/mm] ueberhaupt aus?

LG Felix


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Lagrange-Restglied: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:55 Fr 18.04.2008
Autor: Dunkit

oh ja ^^
Ich habe jetzt die Abschätzung

| [mm] \bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm]  * [mm] cos^{n+1} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] \bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}| [/mm]

Das sollte zusammen mit dem Majorantenkriterium die Lösung bringen, oder?!

Bezug
                                        
Bezug
Lagrange-Restglied: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:22 Sa 19.04.2008
Autor: felixf

Hi

> oh ja ^^
>  Ich habe jetzt die Abschätzung
>
> | [mm]\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]  * [mm]cos^{n+1}[/mm] | [mm]\le[/mm] |
> [mm]\bruch{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|[/mm]
>  
> Das sollte zusammen mit dem Majorantenkriterium die Lösung
> bringen, oder?!

Genau :)

Gute Nacht,
Felix



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