Lagrange-Multiplikator; Kugel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Punkte auf der Kugeloberfläche [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, [/mm] die nach Satz über den Lagrangeschen Multiplikator als Punkte extremalen Abstands von (1,1,1) in Frage kommen. |
Hi, also das ist die Aufgabenstellung. Ich hab auch einen Ansatz, fahr den jetzt aber schon so lange, dass ich mich Frage ob der richtig ist.
Also ich habe für den Multiplikator die Kugeloberfläche als Hauptbedingung und [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\wurzel{3} [/mm] (=g(x,y,z))als Nebenbedingung angenommen.
grad g(x,y,z)=0 , gilt für kein x,y,z, also fallen diese als Extrempunkte flach.
Jetzt komme ich zu der Ungereimtheit, dass:
grad [mm] f(x,y,z)=-\lambda [/mm] grad g(x,y,z) sein soll, was mir nicht einleuchtet, deshalb habe ich es umgeschrieben zu:
grad f(x,y,z)= [mm] \mu [/mm] g(x,y,z) , [mm] \mu \in \IR
[/mm]
grad g(x,y,z)=- [mm] \lambda [/mm] g(x,y,z) , [mm] \lambda [/mm] = [mm] -\mu
[/mm]
Die Lagrangsche-Gleichung folgt mit:
[mm] \wedge (x,y,z,\lambda [/mm] ) = [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}-1+\lambda (\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}-\wurzel{3} [/mm] )
Die Extremstellen entsprechen jetzt den Nullstellen der Gradfunktion, aber diese können doch im Positiven wie Negativen liegen, also sind doch nicht unbedingt Punkte maximalen Abstands.
Habe ich einen Denkfehler? Könnt ihr mir zeigen wo? Oder ist die Aufgabe gelöst, für die Punkte die ich als Nullstellen rausbekomme?
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> Bestimmen Sie die Punkte auf der Kugeloberfläche
> [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,[/mm] die nach Satz über den Lagrangeschen
> Multiplikator als Punkte extremalen Abstands von (1,1,1) in
> Frage kommen.
Hallo,
die Hauptbedingung ist immer das, was minimiert oder maximiert werden soll.
Was ist das denn hier? Der Abstand vom Punkt (1,1,1)
Welchen Abstand d hat ein Punkt P(x,y,z) vom Punkt (1,1,1)?
d(x,y,z)=???
Das ist die zu optimierende Funktion.
Nun dürfen wir aber nicht alle Punkte nehmen, sondern nur die, die auf der Kugeloberfläche sitzen.
Diese Bedingung schränkt uns in der Wahl der Punkte ein. Dies ist dann die Nebenbedingung.
LG Angela
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