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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrange-Multiplikator- Verfah
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Lagrange-Multiplikator- Verfah: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Fr 18.05.2012
Autor: Yuber21

Aufgabe
Bestimmen Sie mittels Lagrange-Multiplikator- Verfahren die
Punkte in der Fliiche in [mm] \IR^3, [/mm]
[mm] 5x^2/8+ 5y^2/8+3xy/4 [/mm] = 1, z E [mm] \IR [/mm]
mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung.

Hi,
mein Ansatz ist, dass ich dich Nebenbedingung erstmals aufstelle: [mm] 5x^2/8+ 5y^2/8+3xy/4-1=0. [/mm] Hier versuche ich den Nenner erstmal wegzubekommen, indem ich die Funktion mit 8 multipliziere. Danach habe ich: [mm] 5x^2+5y^2-6xy-8=0 [/mm] als NB. Meine Hauptbedingung ist [mm] d=x^2+y^2+z^2, [/mm] also der Abstand. Die Wurzel darf man meines Wissens weglassen, so wie ich es gemacht habe zur Vereinfachung.
Somit gilt als Lagrangeformel:
[mm] F=x^2+y^2+z^2+\lambda(5x^2/8+ 5y^2/8+3xy/4-1). [/mm]
So nun erstelle ich die partielle Ableitung 1. Ordnung nach x und y.
I. [mm] Fx=2x+10\lambda x-6y\lambda [/mm]
II. [mm] Fy=2y+10y\lambda -6x\lambda [/mm]

Ich sehe ja, dass in Fall I x=y=0 sein muss, damit die Gleichung erfüllt werden kann, aber für welchen Wert kann die Gleichung erfüllt werden, falls ich für [mm] \lambda [/mm] einen bestimmten Wert einsetze? Normalerweise habe ich diese Aufgabentypen nur mit 1 Variablen gerechnet und dort war es leicht ersichtlich, welchen Wert [mm] \lambda [/mm] annehmen muss, damit sich beispielsweise die X-Werte so wegkürzen, dass die Gleichung =0 ist, aber hier sehe ich es leider nicht.
Vielen Dank im Voraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lagrange-Multiplikator- Verfah: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Fr 18.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie mittels Lagrange-Multiplikator- Verfahren
> die
>  Punkte in der Fliiche in [mm]\IR^3,[/mm]
>  [mm]5x^2/8+ 5y^2/8+3xy/4[/mm] = 1, z E [mm]\IR[/mm]
>  mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung.
>  Hi,
>  mein Ansatz ist, dass ich dich Nebenbedingung erstmals
> aufstelle: [mm]5x^2/8+ 5y^2/8+3xy/4-1=0.[/mm] Hier versuche ich den
> Nenner erstmal wegzubekommen, indem ich die Funktion mit 8
> multipliziere. Danach habe ich: [mm]5x^2+5y^2-6xy-8=0[/mm] als NB.
> Meine Hauptbedingung ist [mm]d=x^2+y^2+z^2,[/mm] also der Abstand.
> Die Wurzel darf man meines Wissens weglassen, so wie ich es
> gemacht habe zur Vereinfachung.
>  Somit gilt als Lagrangeformel:
>  [mm]F=x^2+y^2+z^2+\lambda(5x^2/8+ 5y^2/8+3xy/4-1).[/mm]
>  So nun
> erstelle ich die partielle Ableitung 1. Ordnung nach x und
> y.
>  I. [mm]Fx=2x+10\lambda x-6y\lambda[/mm]
>  II. [mm]Fy=2y+10y\lambda -6x\lambda[/mm]

III. [mm] 5x^2/8+ 5y^2/8+3xy/4-1=0 [/mm]

>  
> Ich sehe ja, dass in Fall I x=y=0 sein muss,

Hallo,

richtig ist, daß für x=y=0
[mm] 0=2x+10\lambda x-6y\lambda [/mm] und
[mm] 0=$Fy=2y+10y\lambda -6x\lambda$, [/mm]
aber die dritte Gleichung löst x=y=0 nicht.

Du könntest so vorgehen:
I. nach  [mm] \lambda [/mm] auflösen  (beim Dividieren einschränkende Bedingung notieren)

Das [mm] \lambda [/mm] dann in II. einsetzen und eine Beziehung zwischen x und y erobern.
Damit dann in III. gehen.

LG Angela







damit die

> Gleichung erfüllt werden kann, aber für welchen Wert kann
> die Gleichung erfüllt werden, falls ich für [mm]\lambda[/mm] einen
> bestimmten Wert einsetze? Normalerweise habe ich diese
> Aufgabentypen nur mit 1 Variablen gerechnet und dort war es
> leicht ersichtlich, welchen Wert [mm]\lambda[/mm] annehmen muss,
> damit sich beispielsweise die X-Werte so wegkürzen, dass
> die Gleichung =0 ist, aber hier sehe ich es leider nicht.
>  Vielen Dank im Voraus.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikator- Verfah: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Fr 18.05.2012
Autor: Yuber21

Ok, vielen Dank für die Antwort.
Es stimmt, leider habe ich die 3. Gleichung als Nebenbedingung vergessen.
Nun habe ich die I. Gleichung umgeformt und für [mm] \lambda [/mm] =-1/5 + 1x/3y rausbekommen.
Für y habe ich, wenn ich das in die 2. Gleichung einsetze: [mm] y=-5x+5+x^2/y [/mm] raus, aber wenn ich dies in die 3. Gleichung einsetze, kommt bei mir nichts gescheites raus.
Meinen Fehler sehe ich leider noch nicht, aber wenn ich den x/y Wert habe weiß ich auch nicht, wie das weitere Vorgehen ist.
Mein Ziel ist es ja, für die ersten beiden Gleichungen die x,y und [mm] \lambda [/mm] Werte zu finden, für die die Gleichungen =0 sind. Danach gucke ich mir beide Gleichungen genauer an, setze [mm] \lambda [/mm] in die Gleichung ein und muss anschließend die Bedingung festlegen, für die die anderen Gleichungen ebenfalls 0 sind. Zuletzt gucke ich dann in der Nebenbedingung, welchen x/y-Wert ich erhalte und überprüfe, welcher minimal ist, oder?

Bezug
                        
Bezug
Lagrange-Multiplikator- Verfah: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Fr 18.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Yuber21,

> Ok, vielen Dank für die Antwort.
> Es stimmt, leider habe ich die 3. Gleichung als
> Nebenbedingung vergessen.
>  Nun habe ich die I. Gleichung umgeformt und für [mm]\lambda[/mm]
> =-1/5 + 1x/3y rausbekommen.
> Für y habe ich, wenn ich das in die 2. Gleichung einsetze:
> [mm]y=-5x+5+x^2/y[/mm] raus, aber wenn ich dies in die 3. Gleichung
> einsetze, kommt bei mir nichts gescheites raus.
>  Meinen Fehler sehe ich leider noch nicht, aber wenn ich
> den x/y Wert habe weiß ich auch nicht, wie das weitere
> Vorgehen ist.


Da Du von

[mm]F=x^2+y^2+z^2+\lambda(5x^2/8+ 5y^2/8+3xy/4-1)[/mm]

ausgehst, stimmen die Gleichungen I und II nicht:

I. [mm]F_{x}=2x+\red{\bruch{10}{8}\lambda x\blue{+}\red{\bruch{6}{8}} y\lambda[/mm]
II. [mm]F_{y}=2y+\red{\bruch{10}{8}\lambda y\blue{+}\red{\bruch{6}{8}} x\lambda[/mm]

Korrekterweise muss hier auch noch stehen:

IV. [mm]F_{z}= \ ...[/mm]


>  Mein Ziel ist es ja, für die ersten beiden Gleichungen
> die x,y und [mm]\lambda[/mm] Werte zu finden, für die die
> Gleichungen =0 sind. Danach gucke ich mir beide Gleichungen
> genauer an, setze [mm]\lambda[/mm] in die Gleichung ein und muss
> anschließend die Bedingung festlegen, für die die anderen
> Gleichungen ebenfalls 0 sind. Zuletzt gucke ich dann in der
> Nebenbedingung, welchen x/y-Wert ich erhalte und
> überprüfe, welcher minimal ist, oder?


Gruss
MathePower

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