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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 Di 16.12.2008 | | Autor: | selines |
| Aufgabe | Gegeben sind die drei Ebenen:
[mm] E_{1} [/mm] : [mm] x_{1}+x_{2}+2x_{3} [/mm] = 6
[mm] E_{2} [/mm] : [mm] 2x_{1}-x_{2}-3x_{3} [/mm] = 4
[mm] E_{3} [/mm] : [mm] 4x_{1}+x_{2}+ax{3} [/mm] = 16a
Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden g der beiden Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] an.
Bestimmen Sie jeweils alle a [mm] \in \IR, [/mm] so dass sich für den Durchschnitt von [mm] E_{1}, E_{2} [/mm] und [mm] E_{3} [/mm] folgendes ergibt:
- ein Punkt
- eine Gerade
- eine Ebene
und berechnen Sie in Abhängigkeit von a den Durchschnitt von [mm] E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}. [/mm] |
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 6 \\ 2 & -1 & -3 & 4 }
[/mm]
Nun die erste Zeile +(-2) und zur Zweiten addieren:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & -3 & -7 & -8 }
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] -3x_{2}-7x_{3} [/mm] = -8
Jetzt setze ich [mm] x_{2} [/mm] = t und habe damit:
[mm] -3t-7x_{3} [/mm] = -8
~ [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{8}{7}-\bruch{3}{7}t
[/mm]
Alles eingesetzt in [mm] x_{1}+x_{2}+2x_{3} [/mm] = 6 ergibt:
[mm] x_{1}+t+2(\bruch{8}{7}-\bruch{3}{7}t) [/mm] = 6
~ [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{26}{7}-\bruch{1}{7}t
[/mm]
Aus diesen Ergebnissen wird die Geradengleichung geformt:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{26}{7} \\ 0 \\ \bruch{8}{7}}+t\vektor{1 \\ -7 \\ 3}
[/mm]
Ich denke damit liege ich richtig und habe den ersten Teil der Aufgabe erledigt. Nun könnte ich allerdings einen Hinweis gut gebrauchen. Setze ich die eben errechnete Lösungsmenge in [mm] E_{3} [/mm] ein? Wenn ja, nach was soll ich auflösen? Klar ist nur, dass eine Lösung die Punktbedingung undunendlich viele Lösungen die Bedingung der Gerade erfüllen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich denke damit liege ich richtig und habe den ersten Teil
> der Aufgabe erledigt. Nun könnte ich allerdings einen
> Hinweis gut gebrauchen. Setze ich die eben errechnete
> Lösungsmenge in [mm]E_{3}[/mm] ein? Wenn ja, nach was soll ich
> auflösen? Klar ist nur, dass eine Lösung die Punktbedingung
> undunendlich viele Lösungen die Bedingung der Gerade
> erfüllen.
Den ersten Teil der Aufgabe hast Du in der Tat richtig gelöst.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die so bestimmte Gerade ist ja vom Parameter a unabhängig:
> [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{26}{7} \\ 0 \\ \bruch{8}{7}}+t\vektor{1 \\ -7 \\ 3}
[/mm]
...und in der Tat suchst Du nun ihren Schnitt mit [mm] E_3: [/mm]
[mm] E_1 \cap E_2 \cap E_3=(E_1 \cap E_2) \cap E_3 [/mm] = [mm] g\cap E_3 [/mm] mit
> [mm] E_{3} [/mm] : [mm] 4x_{1}+x_{2}+ax_{3}=16a
[/mm]
>
> Bestimmen Sie jeweils alle a [mm]\in \IR,[/mm] so dass sich für
> den Durchschnitt von [mm]E_{1}, E_{2}[/mm] und [mm]E_{3}[/mm] folgendes
> ergibt: ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene
Das geht wahrscheinlich am besten, wenn Du die Ebene in Normalform darstellst und für das darin vorkommende allgemeine [mm] \vec{x} [/mm] die ermittelte Geradengleichung (eines beliebigen Punkts der Gerade) einsetzt.
Du erhältst eine Gleichung mit a und t. Wenn Du sie nach t auflöst, kommst Du automatisch zur nötigen Fallunterscheidung für a.
Eine Ebene kann sich nicht mehr als Schnitt ergeben, aber vielleicht noch eine leere Menge?
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