Lagebeziehung der E:x und g:x < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Do 15.03.2007 | | Autor: | aleskos |
| Aufgabe | Geg:
[mm] E:\vec{x}==\vektor{2 \\ -3 \\ 2}+k\vektor{3 \\ -2 \\ 2}+l\vektor{-3 \\ 6 \\ 4}
[/mm]
und
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -3 \\ 2}+m\vektor{2 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden g bezüglich der Ebene E! |
Hallo erstmal,
also ich gehe jetzt mal ganz langsam vor:
die Ebene in der Parameterform:
[mm] 2x_{1}-3x_{2}+6x_{3}=25
[/mm]
Punkt A von der Geraden (2/-3/2)
Punkt B ist doch Aufpunkt + Vektor, also (4/-6/8)
Ich kann jetzt die Punkte A u.B in die Parametergleichung einsetzen.
Punkt A und die Ebene 25=25 -> wahre Aussage.
Punkt B und die Ebene 74=25 -> nicht wahr.
so, nun heißt es also, dass die Gerade g in dem Punkt A(2/-3/2) die Ebene schneidet
ist das richtig?
was ist mit B?
was kann ich dann letztendlich über die Beziehung aussagen?
gruß
aleskos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Do 15.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du haettest die Aufgabe richtig geloest,wenn deine Ebenengleichung richtig waer, ist sie aber nicht.
wie bist du auf die Parameterform gekommen?
A ist Aufpunkt der Geraden und der Ebene, d.h. die Gerade schneidet, oder liegt in der Ebene.
jetzt musst du nur noch feststellen, ob der Geradenvektor in der Ebene liegt, oder nicht. Du kannst auch einfach einen weiteren Punkt der Geraden nehmen, wie dus gemacht hast, aber in die richtige Ebenengl.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 15.03.2007 | | Autor: | aleskos |
Es waren drei Punkte gegeben:
A(2/-3/2)
B(5/-5/0)
C(-1/3/6)
A habe ich als Aufpunkt genommen.
[mm] n_{E}=\vektor{3 \\ -2 \\ -2}X\vektor{-3 \\ 6 \\ 4}
[/mm]
[mm] =2\vektor{2 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 6}\circ\vektor{x_{1}-2 \\ x_{2}+3 \\ x_{3}-2}=0
[/mm]
daraus die obenstehende E:x
ich bin mir ziemlich sicher, dass die Ebenengleichung richtig ist.
allerdings, mir hätte es schon am Anfang auffahlen müssen, dass der Aufpunkt identisch ist.
so, klar ist..... die Ebene und die Gerade haben gemeinsamen Punkt!
ich habe die Gerade in zwei Punkte zerlegt A(2/-3/2) ; B(4/-6/8) und sie dann in die Ebenengleichung eingesetzt.
Punkt A ist wahr (25=25) ist ja auch der Aufpunkt.
Punkt B ist nicht wahr. d.h. dass die Gerade weder [mm] \in [/mm] E noch parallel zu der Ebene ist.
ist das richtig so?
wie stelle ich fest, ob der Geradenvektor in der Ebene liegt oder nicht,
ich meine, ohne das Zerlegen der Geraden in Punkte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 15.03.2007 | | Autor: | Leia |
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> wie stelle ich fest, ob der Geradenvektor in der Ebene
> liegt oder nicht,
> ich meine, ohne das Zerlegen der Geraden in Punkte?
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Hallo aleskos,
um festzustellen, ob der Geradenvektor in der Ebene liegt, musst du prüfen, ob er linear abhängig von den Ebenenvektoren ist.
Wenn ich mich richtig erinnere, macht du das, indem du
[mm] x*\vec{a}+y*\vec{b}=\vec{c} [/mm] setzt.
(die Vektoren a und b sin die Ebenenvektoren, c der Geradenvektor)
Diese Gleichung wird aufgelöst. Wenn sie eine Lösung hat, ist der Geradenvektor linear abhängig von den Ebenenvektoren, liegt die Gerade in der Ebene.
Hat die Gleichung keine Lösung, ist das nicht der Fall.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
gruß
Leia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Do 15.03.2007 | | Autor: | aleskos |
okay,
vielen Dank!
klar soweit ;)
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:27 Do 15.03.2007 | | Autor: | Kroni |
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> > wie stelle ich fest, ob der Geradenvektor in der Ebene
> > liegt oder nicht,
> > ich meine, ohne das Zerlegen der Geraden in Punkte?
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> Hallo aleskos,
> um festzustellen, ob der Geradenvektor in der Ebene liegt,
> musst du prüfen, ob er linear abhängig von den
> Ebenenvektoren ist.
Richtig.
> Wenn ich mich richtig erinnere, macht du das, indem du
> [mm]x*\vec{a}+y*\vec{b}=\vec{c}[/mm] setzt.
> (die Vektoren a und b sin die Ebenenvektoren, c der
> Geradenvektor)
> Diese Gleichung wird aufgelöst. Wenn sie eine Lösung hat,
> ist der Geradenvektor linear abhängig von den
> Ebenenvektoren, liegt die Gerade in der Ebene.
> Hat die Gleichung keine Lösung, ist das nicht der Fall.
Nein.
Du musst das Gleichungssystem aufstellen:
[mm] t*\vec{a}+q*\vec{b}+r*\vec{c}=\vec{0}
[/mm]
Wenn dieses Gleichungsystem nur eine Lösung hat (nämlich t=q=r=0), dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Ansonsten wenn du unendlich viele Lösungen hast, sind die Vektoren linear abhängig.
Das ganze kannst du dann mit Hilfe der Determinante prüfen (falls du die Anazahl der Lösungen eines LGS schon mti Hilfe der Determinante bestimmen kannst).
Slaín,
Kroni
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> Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
> gruß
> Leia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ibrahim |
2+3k-3l=2+2m
-3-2k+6l=-3-3m
2+2k+6l=2+6m
drei Variabeln drei Gleichungen
l=0
m=0
k=0
dann die Gerade schneidet der Ebene in Punkt(2/-3/2)
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