Lage von Geraden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Do 15.02.2007 | | Autor: | matter |
| Aufgabe | A und B seien 2 Punkte mit linear unabhängigen Ortsvektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] die nicht durch den Ursprung gehen.
Bestimmen Sie die Lage folgender Geraden zueinander:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + t [mm] (\vec{b}-\vec{a})
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] t(\vec{a} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \vec{b})
[/mm]
i: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + t [mm] (\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}) [/mm] |
Also ich hab halt zunächst mit Gerade g und h begonnen und gleichgesetzt:
[mm] \vec{a} [/mm] + t [mm] (\vec{b}-\vec{a}) [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] t(\vec{a} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \vec{b})
[/mm]
nach ein bissl umstellen erhalte ich für t
t = [mm] \bruch{\vec{b}}{(\bruch{3}{2}\vec{b} - 2 \vec{a})}
[/mm]
Jetzt wollte ich in die Geraden einsetzen und gucken was da raus kommt. Anscheinend nichts venrünftiges. Ich weiß nicht wie ich weiter machen soll :-/
Habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt !
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Hallo matter,
> A und B seien 2 Punkte mit linear unabhängigen Ortsvektoren
> [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] die nicht durch den Ursprung gehen.
> Bestimmen Sie die Lage folgender Geraden zueinander:
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + t [mm](\vec{b}-\vec{a})[/mm]
> h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]t(\vec{a}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} \vec{b})[/mm]
>
> i: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] + t [mm](\vec{a}[/mm] -
> [mm]\vec{b})[/mm]
> Also ich hab halt zunächst mit Gerade g und h begonnen und
> gleichgesetzt:
dabei solltest du die Parameter t in den beiden Gleichungen unterscheidbar machen, etwa in der 2. Gleichung lieber s statt t benutzen.
>
> [mm]\vec{a}[/mm] + t [mm](\vec{b}-\vec{a})[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] +
> [mm]t(\vec{a}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} \vec{b})[/mm]
>
> nach ein bissl umstellen erhalte ich für t
>
> t = [mm]\bruch{\vec{b}}{(\bruch{3}{2}\vec{b} - 2 \vec{a})}[/mm]
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") das ist Unfug, weil man durch Vektoren nicht teilen kann!
>
> Jetzt wollte ich in die Geraden einsetzen und gucken was da
> raus kommt. Anscheinend nichts venrünftiges. Ich weiß nicht
> wie ich weiter machen soll :-/
>
g: [mm]\vec{x}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})[/mm]
h: [mm]\vec{x}=\vec{a}+\vec{b}+s(\vec{a}-\bruch{1}{2} \vec{b})[/mm]
i: [mm]\vec{x}=\bruch{1}{2} \vec{a}+\vec{b}+t(\vec{a}-\vec{b})[/mm]
Prüfe, ob [mm] \vec{b}-\vec{a} [/mm] linear abhängig von [mm] \vec{a}-\bruch{1}{2} \vec{b} [/mm] ist; denn dann wären die beiden Geraden parallel.
Sind [mm] (\vec{b}-\vec{a}) [/mm] und [mm] (\vec{a}-\vec{b}) [/mm] linear abhängig?
Gibt es eine reelle Zahl [mm] \lambda [/mm] so, dass gilt: [mm] (\vec{b}-\vec{a})=\lambda*(\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
prüfe, ob der Aufhängepunkt [mm] $\vec [/mm] a$ von g auf der Geraden auch auf der Geraden h oder auf i liegt: denn dann wären die beiden Geraden identisch.
im übrigen ist dies eher eine Hochschul-Aufgabe, darum verschiebe ich die Frage mal dort hin.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 15.02.2007 | | Autor: | matter |
Ok ich bemüh mich mal. Ich selber bin zwar an ner Uni. Aber die Aufgabe da muss meine Freundin gerade lösen und die ist in der 13. Klasse am Gymmi !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 15.02.2007 | | Autor: | matter |
Ok ... das mit dem Dividieren ist natürlich klar. Habe jetzt Koeffizienten zugeordnet: g>t; h>s; i>r
1. g und h:
- Richtungsvektoren sind lin. unabhängig
- so bei der Punktprobe bin ich mir nicht ganz sicher:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + s [mm] (\vec{a} [/mm] - 0,5 [mm] \vec{b})
[/mm]
0 = [mm] \vec{b} [/mm] + s [mm] (\vec{a} [/mm] - 0,5 [mm] \vec{b})
[/mm]
- [mm] \vec{b} [/mm] = s [mm] (\vec{a} [/mm] - 0,5 [mm] \vec{b}) [/mm] das sollte nicht möglich sein
Also liegt der Punkt nicht drauf und das bedeutet die Geraden sind windschief !?
2. h und i:
- Richtungsvektoren sind lin. unabhängig
- bei der Punktprobe erhalte ich am Ende
0,5 [mm] \vec{a} [/mm] = r [mm] (\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
Also sollten sie wieder windschief sein ?!
3. g und i:
- Richtungsvektoren sind lin. abhängig (mit -1)
- Punktprobe:
0,5 [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] = r [mm] (\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}) [/mm] -> geht net, also sind die Geraden parallel !
Stimmts jetzt einigermaßen o.O ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Fr 16.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok ... das mit dem Dividieren ist natürlich klar. Habe
> jetzt Koeffizienten zugeordnet: g>t; h>s; i>r
>
> 1. g und h:
>
>
> - Richtungsvektoren sind lin. unabhängig
> - so bei der Punktprobe bin ich mir nicht ganz sicher:
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] + s [mm](\vec{a}[/mm] - 0,5 [mm]\vec{b})[/mm]
> 0 = [mm]\vec{b}[/mm] + s [mm](\vec{a}[/mm] - 0,5 [mm]\vec{b})[/mm]
> - [mm]\vec{b}[/mm] = s [mm](\vec{a}[/mm] - 0,5 [mm]\vec{b})[/mm] das sollte nicht
> möglich sein
Richtig, aber das musst du noch zeigen. Tipp:
[mm] -\vec{b}=s(\vec{a}-0,5\vec{b})
[/mm]
[mm] \gdw-\vec{b}=s\vec{a}-0,5s\vec{b})
[/mm]
[mm] \gdw(-1+0,5)\vec{b}=s\vec{a}
[/mm]
[mm] \gdw-\bruch{1}{2s}\vec{b}=\vec{a}
[/mm]
Und was war für die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] in der Aufgabe gefordert? Ist das vereinbar mit dem Ergebnis hier?
>
> Also liegt der Punkt nicht drauf und das bedeutet die
> Geraden sind windschief !?
>
Yep.
>
> 2. h und i:
>
> - Richtungsvektoren sind lin. unabhängig
> - bei der Punktprobe erhalte ich am Ende
>
> 0,5 [mm]\vec{a}[/mm] = r [mm](\vec{a}-\vec{b})[/mm]
>
> Also sollten sie wieder windschief sein ?!
Stimmt, aber die Begründung fehlt, das geht aber ähnlich wie oben.
>
>
> 3. g und i:
>
> - Richtungsvektoren sind lin. abhängig (mit -1)
> - Punktprobe:
>
>
> 0,5 [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] = r [mm](\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b})[/mm] -> geht net,
> also sind die Geraden parallel !
>
Genau so ists
>
> Stimmts jetzt einigermaßen o.O ?
Marius
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