Lage der Nullstellen (Rouché) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:24 So 01.07.2007 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Was sagt uns der Satz von Rouché über die Lage der Nullstellen eines Polynoms [mm] z^{n}+bz^{k}+c [/mm] , wobei 0<k<n und [mm] b\not=0, c\not=0 [/mm] gelten soll?
Gilt [mm] |z^{n}|>|bz^{k}+c| [/mm] für alle z mit |z|=R und [mm] |c|>|z^{n}+bz^{k}| [/mm] für alle z mit |z|=r, so liegen die Nullstellen nach dem Satz von Rouché in dem durch r<|z|<R beschriebenen Kreisring (weshalb?).
Was ist aber aus [mm] |bz^{k}|<|z^{n}+c| [/mm] bzw. [mm] |bz^{k}|>|z^{n}+c| [/mm] für alle z mit [mm] |z|=r_{1} [/mm] zu schließen? |
Hallo!
Also die erste Frage hab ich denk ich beantwortet:
1) wenn [mm] |z^{n}|>|bz^{k}+c| [/mm] für alle z mit |z|=R gilt, dann haben [mm] z^{n} [/mm] und [mm] z^{n}+bz^{k}+c [/mm] gleich viele Nullsellen in [mm] B_{R}(0), [/mm] nämlich n an der Anzahl, denn [mm] z^{n} [/mm] hat bei 0 eine n-fache Nullstelle.
2) wenn [mm] |c|>|z^{n}+bz^{k}| [/mm] für alle z mit |z|=r gilt, dann haben c und [mm] z^{n}+bz^{k}+c [/mm] gleich viele Nullstellen in [mm] B_{r}(0), [/mm] nämlich gar keine, denn g(z) = c ist konstant. Also liegen alle Nullstellen von [mm] z^{n}+bz^{k}+c [/mm] in { z | |z|>r }
[mm] \Rightarrow [/mm] alle n Nullstellen des Polynoms [mm] z^{n}+bz^{k}+c [/mm] liegen im Kreisring { z | r<|z|<R }
eine Frage hätt ich dazu aber noch: wieso kann ich annehmen, dass r<R ist?
Die zweite Frage der Aufgabe ist mir leider nicht klar. Vielleicht kann mir da jemand helfen. Außerdem: Ist mit [mm] r_{1} [/mm] eigentlich ein bestimmter Radius gemeint?
Vielen Dank schonmal
Gruß, hopsie
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Mo 02.07.2007 | | Autor: | hopsie |
Also zu der zweiten Frage (P(z) = [mm] z^{n}+bz^{k}+c)
[/mm]
1) wenn [mm] |bz^{k}|<|z^{n}+c| [/mm] für alle z mit [mm] |z|=r_{1} [/mm] gilt, dann haben [mm] z^{n}+c [/mm] und P(z) gleich viele Nullstellen in [mm] B_{r_{1}}(0), [/mm] also höchstens n an der Zahl. Aber man weiß nicht genau wieviele, oder?
2) wenn [mm] |bz^{k}|>|z^{n}+c| [/mm] für alle z mit [mm] |z|=r_{1} [/mm] gilt, dann haben [mm] bz^{k} [/mm] und P(z) gleich viele Nullstellen in [mm] B_{r_{1}}(0), [/mm] also höchstens k an der Zahl.
Was kann man aber insgesamt daraus schließen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Do 05.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
