Länge einer Kurve berechnen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Länge der Kurve [mm] x:[0,3]->R^3, [/mm] wobei x(t)=(cos(2t),sin(2t),2*cosh(t)) |
Hallo!
Ich habe zuerst die erste ableitung bestimmt.
x'(t)=(-2sin(2t),cos(2t)*2,2sinh(t))
Dann die Norm von x'(t)
[mm] \parallel [/mm] x'(t) [mm] \parallel=\wurzel{4+4sinh(t)}
[/mm]
Für die Länge muss ich folgendes Integral bestimmen:
[mm] 2*\integral_{0}^{3}{\wurzel{ 1+sinh(t) }dt}
[/mm]
Nun bin ich etwas ratlos, wie ich das Integral lösen kann.
Eigentlich kann man hier nur substituieren, oder?
Ich hab mir überlegt, sinh(t) mit exp zu schreiben, also
[mm] 2*\integral_{0}^{3}{\wurzel{\bruch{2+e^t-e^{-t}}{2} }dt}
[/mm]
Kann mir einer ein Tipp geben?
Vielen Dank schonmal
TheBozz-mismo
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Ah. Stimmt. Vielen Dank für den Hinweis.
Also neuer Versuch
$ [mm] \integral_{0}^{3}{\wurzel{ 4+4*(\bruch{e^t-e^-t}{2})^2 }dt} [/mm] $
[mm] =\integral_{0}^{3} {\wurzel{4+(e^t-e^-t)^2} dt }
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{3} {\wurzel{e^{2t}+2+e^{-2t}} dt }
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{3} {\wurzel{(e^{t}+e^{-t})^2} dt }
[/mm]
[mm] =[e^t-e^{-t}]_{0}^{3}=e^3-e^{-3}=2*sinh(3)
[/mm]
Ich hoffe mal, das ist jetzt richtig.
Vielen Dank nochmal
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Ah. Stimmt. Vielen Dank für den Hinweis.
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> Also neuer Versuch
> [mm]\integral_{0}^{3}{\wurzel{ 4+4*(\bruch{e^t-e^-t}{2})^2 }dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{4+(e^t-e^-t)^2} dt }[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{e^{2t}+2+e^{-2t}} dt }[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{(e^{t}+e^{-t})^2} dt }[/mm]
>
> [mm]=[e^t-e^{-t}]_{0}^{3}=e^3-e^{-3}=2*sinh(3)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ich hoffe mal, das ist jetzt richtig.
Das sieht gut aus!
> Vielen Dank nochmal
> TheBozz-mismo
>
Gruß
schachuzipus
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> Ah. Stimmt. Vielen Dank für den Hinweis.
>
> Also neuer Versuch
> [mm]\integral_{0}^{3}{\wurzel{ 4+4*(\bruch{e^t-e^-t}{2})^2 }dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{4+(e^t-e^-t)^2} dt }[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{e^{2t}+2+e^{-2t}} dt }[/mm]
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> [mm]=\integral_{0}^{3} {\wurzel{(e^{t}+e^{-t})^2} dt }[/mm]
>
> [mm]=[e^t-e^{-t}]_{0}^{3}=e^3-e^{-3}=2*sinh(3)[/mm]
>
> Ich hoffe mal, das ist jetzt richtig.
> Vielen Dank nochmal
> TheBozz-mismo
Das ginge auch gut mit der Gleichung [mm] 1+sinh^2=cosh^2 [/mm] und mit
den angenehmen Eigenschaften von sinh und cosh beim Ableiten
und Integrieren.
(sinh und cosh haben analoge Eigenschaften wie sin und cos,
nur mit anderen Vorzeichen in den Formeln)
LG Al-Chw.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
