Länge einer Kurve berechnen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]c: (0,1) \to \IR^2[/mm] die folgende parametrisiete Kurve
[mm]c(t) := \vektor{t \\
t*sin( \frac{\pi}{t} ) [/mm] .
a.) [mm]l_n[/mm] sei die Länge von c auf dem Intervall [mm]\left [ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right ][/mm]
Zeigen Sie: [mm]l_n \geq \frac{1}{n + \frac{1}{2} } [/mm]
b.) Zeigen Sie, dass c unendliche Länge hat. |
Hallo zusammen,
also zu Teil a.) hab ich folgendes :
[mm]c'(t) = \vektor{1 \\
sin(\frac{\pi}{t})- \frac{\pi}{t} cos(\frac{\pi}{t})}[/mm]
Also ist die Länge zu berechnen durch:
[mm]\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} \sqrt{ 1+(sin(\frac{\pi}{t}) - \frac{\pi}{t} cos(\frac{\pi}{t}))^2 } dt
[/mm]
= [mm]\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} \sqrt{1+sin^2 (\frac{\pi}{t}) +\left ( \bruch{\pi}{t}\right )^2 cos^2(\frac{\pi}{t}) -2 \bruch{\pi}{t} sin(\bruch{\pi}{t}) cos (\bruch{\pi}{t}) } dt[/mm]
Tja und hier gehen die PRob's schon los, das Integral lässt sich aus meiner Sicht so einfach nicht berechnen, hab versucht das Quadrat auszurechnen und mittels Additionstheoreme so zu ergänzen, dass die Wurzel wegfliegt, funktioniert aber nicht so ganz.
Da ja das Integral auch durch eine Summe und einer Zerteilung des Intervalls approximiert werden kann, könnte man das auch so zeigen?
Oder geht es nicht ,da in teil b) gezeigt werden muss, dass zwischen 0 und 1 die Länge unendlich ist?
Wäre sehr dankbar für Hinweise.
viele Grüße
Student
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 20.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Student
Teil b) folgt doch aus a).
Denn dann gilt [mm] $l=\sum_nl_n\geq\sum_{n}\frac{1}{n+\frac12}$ [/mm] und die letzte Reihe divergiert bekanntlich.
Zu a) Tipp: Betrachte die Punkte die zu den Parameterwerten [mm] $t=\frac1n\to P_1$, $t=\frac{1}{n+1/2}\to P_2$ [/mm] und [mm] $t=\frac{1}{n+1}\to P_3$ [/mm] gehoeren. Die Bogenlaenge ist dann sicher laenger als der Streckenzug [mm] $P_1P_2P_3$.
[/mm]
Edit: Die Frage wurde nochmals gestellt. Siehe hier
mfg Moudi
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