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Forum "Integralrechnung" - Länge des Graphen
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Länge des Graphen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Di 09.02.2021
Autor: hase-hh

Aufgabe
Über einem Tal soll zwischen den Punkten A (0 / 0,2)  und B (1 / 0,3) eine Hängebrücke errichtet werden. Dabei entspricht eine Einheit einem Kilometer in der Wirklichkeit.

Die Hängebrücke kann durch den Graphen der Funktion g beschrieben werden, mit

g(x) = [mm] 0,2x^2 [/mm] -0,1x +0,2.

Die Länge L des Graphen von g über dem Intervall [a;b] kann durch folgendes Integral berechnet werden:

[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1+ (g' (x))^2} dx}. [/mm]


a) Berechnen Sie die Länge der Hängebrücke

b) Begründen Sie, dass [mm] \integral_{0}^{b}{\wurzel{1+ (g' (x))^2} dx} [/mm] > [mm] \wurzel{b^2 + (g(b) - g(0))^2} [/mm]  für alle 0 < b [mm] \le [/mm] 1 gilt.


Moin, Moin!

Meine Frage ist, wie ich diesen Ausdruck überhaupt verstehen kann, insbesondere den Term unter der Wurzel???


[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1+ (g' (x))^2} dx}. [/mm]


Natürlich kann ich  g' (x) bilden, und für die Intervallgrenzen a=0 und b=1 einsetzen, s.u.

Damit habe ich aber die Formel überhaupt nicht verstanden!?


g ' (x) = 0,4x -0,1

(g' [mm] (x))^2 [/mm] = (0,4x [mm] -0,1)^2 [/mm]  = [mm] 0,16x^2 [/mm] -0,08x +0,01

[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{1+ 0,16x^2 -0,08x +0,01} dx} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{0,16x^2 -0,08x +1,01} dx} \approx [/mm] 1,012 km.


Danke & Gruß


















        
Bezug
Länge des Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 Di 09.02.2021
Autor: statler

Hallo!

> Über einem Tal soll zwischen den Punkten A (0 / 0,2)  und
> B (1 / 0,3) eine Hängebrücke errichtet werden. Dabei
> entspricht eine Einheit einem Kilometer in der
> Wirklichkeit.
>
> Die Hängebrücke kann durch den Graphen der Funktion g
> beschrieben werden, mit
>
> g(x) = [mm]0,2x^2[/mm] -0,1x +0,2.
>  
> Die Länge L des Graphen von g über dem Intervall [a;b]
> kann durch folgendes Integral berechnet werden:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+ (g' (x))^2} dx}.[/mm]
>
>
> a) Berechnen Sie die Länge der Hängebrücke
>  
> b) Begründen Sie, dass [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{1+ (g' (x))^2} dx}[/mm]
> > [mm]\wurzel{b^2 + (g(b) - g(0))^2}[/mm]  für alle 0 < b [mm]\le[/mm] 1
> gilt.
>  
> Moin, Moin!
>  
> Meine Frage ist, wie ich diesen Ausdruck überhaupt
> verstehen kann, insbesondere den Term unter der Wurzel???
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+ (g' (x))^2} dx}.[/mm]
>
>
> Natürlich kann ich  g' (x) bilden, und für die
> Intervallgrenzen a=0 und b=1 einsetzen, s.u.
>
> Damit habe ich aber die Formel überhaupt nicht
> verstanden!?
>  
>
> g ' (x) = 0,4x -0,1
>
> (g' [mm](x))^2[/mm] = (0,4x [mm]-0,1)^2[/mm]  = [mm]0,16x^2[/mm] -0,08x +0,01
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{1+ 0,16x^2 -0,08x +0,01} dx}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{0,16x^2 -0,08x +1,01} dx} \approx[/mm]
> 1,012 km.

Kennst du dieses klassische Bild mit den Riemannschen Ober- und Untersummen? Entsprechend kannst du den Graphen einer differenzierbaren Funktion durch einen Polygonzug approximieren und dann mit dem Pythagoras die Längen der einzelnen Geradenstückchen durch [mm] $\Delta x_{i}$ [/mm] und [mm] $\Delta y_{i}$ [/mm] ausdrücken. Das führt zumindest erstmal zu einer anschaulichen Erklärung der Formel und insbesondere auch der Ungleichung.

Gruß Dieter

Bezug
        
Bezug
Länge des Graphen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Di 09.02.2021
Autor: HJKweseleit

[Dateianhang nicht öffentlich]

Das Bild zeigt dir einen Teil eines Graphen. Seine Länge besteht aus gedachten "unendlich vielen" "unendlich kleinen" Teilchen ds, die alle aufsummiert werden müssen. Für die Summe schreiben wir ein großes S, und da steht dann [mm] \integral [/mm] ds.

So ein ds ist aber die Hypothenuse in einem Steigungsdreieck mit den dazugehörenden Katheten dx und dy. Nach Pythagoras ist nun

[mm] (ds)^2 [/mm] = [mm] (dx)^2 [/mm] + [mm] (dy)^2 [/mm] und damit ds = [mm] \wurzel{(dx)^2 + (dy)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(dx)^2 + \bruch{(dy)^2}{(dx)^2}(dx)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + \left( \bruch{dy}{dx}\right)^2}*dx= \wurzel{1 + (f'(x))^2}*dx [/mm]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Länge des Graphen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:49 Do 11.02.2021
Autor: hase-hh

Vielen Dank, das habe ich jetzt verstanden!

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