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Länge Parameterkurv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Sa 04.07.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie die Länge des Graphen der Parameterkurve:

[mm] x(t)=-t*\cos(t)+\sin(t) [/mm]
[mm] y(t)=t*\sin(t)+\cos(t) [/mm]
[mm] t\in[-1;1] [/mm]

Also die Wurzel macht mir irgendiwe zu schaffen und ich bin mir nicht sicher ob das so richtig ist:

[mm] L=\integral_{t_1}^{t_2}{\sqrt{(\dot x(t))^2+(\dot y(t))^2} dt} [/mm]

[mm] \dot x(t)=-\cos(t)+t*\sin(t)+\cos(t)=t*\sin(t) [/mm]
[mm] \dot y(t)=\sin(t)+t*\cos(t)-\sin(t)=t*\cos(t) [/mm]

[mm] L=\integral_{-1}^{1}{\sqrt{t^2*\sin^2(t)+t^2*\cos^2(t)} dt} [/mm]

[mm] L=\integral_{-1}^{1}{\sqrt{t^2(\sin^2(t)+\cos^2(t))} dt} [/mm]

[mm] L=\integral_{-1}^{1}{\sqrt{t^2} dt} [/mm]

jetzt kommt der entscheidende Schritt:

[mm] L=\pm \integral_{-1}^{1}{t dt} [/mm]

Jetzt habe ich mir überlegt, das - gilt wenn t negativ ist und das + wenn t positiv ist:

[mm] L=\bruch{1}{2}*1-(-\bruch{1}{2}*1)=1 [/mm] L.E.

Ist das mit den Vorzeichen so richtig argumentiert?, denn wenn ich das [mm] \pm [/mm] weglasse kommt als Länge 0 raus, was meiner Meinung nach kein sinnvolles Ergebnis ist.

Danke und Gruß,
tedd [ok]
        
Bezug
Länge Parameterkurv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Sa 04.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo tedd,

> Bestimmen Sie die Länge des Graphen der Parameterkurve:
>  
> [mm]x(t)=-t*\cos(t)+\sin(t)[/mm]
>  [mm]y(t)=t*\sin(t)+\cos(t)[/mm]
>  [mm]t\in[-1;1][/mm]
>  Also die Wurzel macht mir irgendiwe zu schaffen und ich
> bin mir nicht sicher ob das so richtig ist:
>  
> [mm]L=\integral_{t_1}^{t_2}{\sqrt{(\dot x(t))^2+(\dot y(t))^2} dt}[/mm]
>  
> [mm]\dot x(t)=-\cos(t)+t*\sin(t)+\cos(t)=t*\sin(t)[/mm]
>  [mm]\dot y(t)=\sin(t)+t*\cos(t)-\sin(t)=t*\cos(t)[/mm]
>  
> [mm]L=\integral_{-1}^{1}{\sqrt{t^2*\sin^2(t)+t^2*\cos^2(t)} dt}[/mm]
>  
> [mm]L=\integral_{-1}^{1}{\sqrt{t^2(\sin^2(t)+\cos^2(t))} dt}[/mm]
>  
> [mm]L=\integral_{-1}^{1}{\sqrt{t^2} dt}[/mm] [ok]
>  
> jetzt kommt der entscheidende Schritt:
>  
> [mm]L=\pm \integral_{-1}^{1}{t dt}[/mm]

Das ist eine gewagte Schreibweise ...

Nutze doch besser die Additivität des Integrals (und die Tatsache, dass [mm] $\sqrt{t^2}=|t|$ [/mm] ist):

[mm] $\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{t^2} \ dt}=\int\limits_{-1}^{1}{|t| \ dt}=\int\limits_{-1}^{0}{|t| \ dt} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{0}^{1}{|t| \ dt}=\int\limits_{-1}^{0}{-t \ dt} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{0}^{1}{t \ dt}$ [/mm]

>  
> Jetzt habe ich mir überlegt, das - gilt wenn t negativ ist
> und das + wenn t positiv ist:

genau so ist es!

>  
> [mm]L=\bruch{1}{2}*1-(-\bruch{1}{2}*1)=1[/mm] L.E.
>  
> Ist das mit den Vorzeichen so richtig argumentiert?, denn
> wenn ich das [mm]\pm[/mm] weglasse kommt als Länge 0 raus, was
> meiner Meinung nach kein sinnvolles Ergebnis ist.

Das wäre eine sehr kurze Kurve ;-)

Bogenlänge 1 ist genau richtig!

>  
> Danke und Gruß,
>  tedd [ok]


LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Länge Parameterkurv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Sa 04.07.2009
Autor: tedd

alles klar :)
Danke für die schnelle Antwort schachuzipus.

Gruß,
tedd :-)
Bezug
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