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Ein paar kleine Anwendungsfragen zum LaPlace Entwicklungsverfahren.
Z.B. am Beispiel von
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 2 }
[/mm]
Ich suche mir eine Spalte (oder auch Zeile) zum entwickeln aus, z.B. die erste Spalte [mm] \pmat{ 2\\1\\3} [/mm]
So und dann halte ich erst die 1, dann die 2. und dann die dritte Zeile der Matrix zu (die 1. Spalte nach der ich entwickle immer). Dann bekomme ich drei 2x2 Matrizen raus, nämlich:
2 * [mm] \pmat{3 & 7 \\ 7 & 2} [/mm] <= Matrix A
1 * [mm] \pmat{1 & 3 \\ 7 & 2} [/mm] <= Matrix B
und
3 * [mm] \pmat{1 & 3 \\ 3 & 7} [/mm] <= Matrix C
Die Determinanten der 2x2 Matrizen kann man mit a*d - b*c ausrechnen.
Die Determinante der ursprünglichen Matrix ist dann:
2*( det(A) ) + (1 * det(B) ) - 3 * (det(C))
Wie kommen die Vorzeichen dazwischen zustande? In einer Übung wurde gesagt: Die Vorzeichen kommen immer abwechselnd dran. Man beginnt mit +, dann kommt Minus, dann wieder Plus usw.
Stimmt es wie ich mit den Skalaren umgegangen bin? Also bleiben die Skalare erhalten, oder muss ich die Matrix erst mit zwei Multiplizieren und dann die Determinante ausrechnen?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:08 Di 15.01.2008 | | Autor: | nahpets87 |
Hi,
Ich könnte schwören dass ich die Frage vor einer STunde schonmal gestellt habe, aber wenn ich auf eigene Forendiskussionen klicken erscheint sie nicht. Also probiere ich es einfach nocheinmal.
Ich habe ein paar Fragen zum LaPlace Entwicklungsverfahren zur Bestimmung einer Determinante.
Ich erkläre euch dei Fragen anhand eines Beispiels.
[mm] \pmat{2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 2}
[/mm]
1.) Suche mir eine Spalte (oder Zeile aus nach der ich entwickeln möchte).
Ich entscheide mich für die erste, weil deren Summe am kleinsten ist.
Durch entwickeln nach dieser Zeile erhalte ich drei 2x2 Matrizen, nämlich:
Matrix A mit [mm] \pmat{3 & 7 \\ 7 & 2}
[/mm]
Matrix B mit [mm] \pmat{1 & 3 \\ 7 & 2}
[/mm]
Matrix C mit [mm] \pmat{1 & 3 \\ 3 & 7}
[/mm]
Die Determinante dieser drei Matrizen berechnet man in dem man das Produkt der Gegendiagonalen vom Produkt der Diagonalen abzieht, also ad-bc rechnet.
Die Determinante der ursprünglichen MAtrix berechnet sich dann so:
det X = 2* det(A) + 1* det(B) - 3 * det(C)
Wobei immer abwechseln + und - kommt und man mit + beginnt.
Jetzt meine beiden Fragen:
1.) Wie kommen die Vorzeichen zustande. Beginnt man immer mit + und macht dann abwechseln + und - ?
2.) Muss ich die Faktoren (hier 2, 1 und 3) die von der Zeile nach der man entwickelt kommen so wie ich es jetzt hier gemacht habe stehen lassen, oder muss ich bevor ich die Determinante der 2x2 Matrix berechne die Matrix mit dem Skalar multiplizieren?
Danke!
edit: Warum stell ich diese Frage? Weil ich alle möglichen Sachen jetzt hier schon ausprobiert habe und immer auf eine falsche Determinante komme! Also irgendwo steckt hier ein Fehler.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Di 15.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Wenn n die Spalte und m die Zeile des Elements, nach dem du gerade entwickelst, sind, dann ist das Vorzeichen [mm] (-1)^{n+m}.
[/mm]
Falls du also die Spalte von oben nach unten (/Zeile von links nach rechts) auflöst wechselt das Vorzeichen tatsächlich, da m+n immer um einen wächst. Es muss jedoch nicht immer mit einem + beginnen. Dies gilt nur, wenn du oben links startest, da dort immer 1,1 ist. Somit ist das Vorzeichen [mm] (-1)^2=1.
[/mm]
Du scheinst eine seltsame Definition von abwechselnd zu haben. ;)
Die Lösung zu deinem Beispiel ist :
[mm] det(\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 2 })=(-1)^2*2*det(A)+(-1)^3*1*det(B)+(-1)^4*3*det(C)=2*det(A)-1*det(B)+3*det(C)
[/mm]
Ciao.
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