LaPlace Problem mit RLC < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 11.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R, einer Induktivität L, und einer Kapazität C. Die Schaltung ist über den Schalter S an eine ideale Gleichspannungsquelle [mm] U_{0} [/mm] angeschlossen. Das System befindet sich in einem stationären Zustand. Alle Einschwingvorgänge können als abgeschlossen betrachtet werden.
Zum Zeitpunkt [mm] t=t_{0} [/mm] wird der Schalter von Stellung 1 in Stellung 2 gebracht.
Aufgaben:
a) Bestimmen sie mit Hilfe der Laplace-Transformation den Strom i(t), sowie die Spannung [mm] u_{L}(t) [/mm] für [mm] R=\wurzel{\bruch{3*L}{C}}
[/mm]
b) Skizzieren Sie i(t) und [mm] u_{L}(t) [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 3*t_{0} [/mm] unter der Angabe von charakteristischen Zeit und Amplitudenwerten. Hierbei gilt: [mm] t_{0} [/mm] = [mm] \bruch{2*\pi}{\omega_{0}} [/mm] mit [mm] \omega_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{L*C}} [/mm] |
Hallo zusammen!
Leider komme ich bei dieser LaPlace-Aufgabe nicht weiter. Mein Ansatz zur Lösung (zumindest von i(t)) würde lauten:
[mm] U_{0}*[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-t_{0})] [/mm] = [mm] u_{R} [/mm] + [mm] u_{L} [/mm] + [mm] u_{C}
[/mm]
[mm] U_{0}*[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-t_{0})] [/mm] = R*i(t) + [mm] L*\bruch{di(t)}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{1}{C}*\integral_{}^{}{i(t) dt}
[/mm]
Ich komme auch noch weiter, jedoch glaube ich, dass dieser Lösungsansatz schon falsch ist. Es wäre wirklich sehr nett von euch, wenn ihr mir helfen würdet, da ich diese Aufgabe gerne verstehen möchte. Ich möchte nicht frech oder dreist sein, aber ich hätte gerne einen ganz peniblen Lösungsweg, bitte nicht 3 Schritte auf einmal.
Die Lösung ist ebenfalls, genauso wie die Aufgabenstellung, nochmal im Anhang zu finden.
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 11.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jan2006,
eine Anschubhilfe gebe ich gerne, aber Du sollst auch noch was zum Rechnen haben.
Wie Du bereits vermutetest, ist Dein Ansatz verkehrt, denn Du hast die Anfangsbedingung nicht berücksichtigt. Das System ist im stationären Zustand, ein Kondensator ist ein Gleichstromblocker, es kann also kein Strom fließen, wenn der Schalter schon extrem lange geschlossen ist. Dafür hat sich der Kondensator auf die Batteriespannung aufgeladen und wirkt nach dem Umlegen des Schalters zum Zeitpunkt t0 als Spannungsquelle. Mit dem Verschiebungssatz im Zeitbereich bekommst Du dann durch einen Maschenumlauf
$$ [mm] U_R [/mm] (p) + [mm] U_L [/mm] (p) + [mm] U_C [/mm] (p) + [mm] \bruch{U_0}{p}e^{-p t_0} [/mm] = 0 $$
Der Strom, der in diesem Fall fließt, der ergibt sich ganz normal durch den alten Ohm zu
$$ I(p) = [mm] \bruch{\bruch{U_0}{p}e^{- p t_0}}{R+pL + \bruch{1}{pC}} [/mm] $$
Das musst Du ausrechnen und rücktransfomieren.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:55 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo Infinit!
Den Ansatz, den du verfolgst, kann ich nachvollziehen. Der Kondensator ist aufgeladen, jedoch ist der Strom über ihn gleich Null. Das bedeutet, dass sowohl der Anfangswert des Stromes gleich Null und auch die Ableitung des Stromes gleich Null ist.
Trotzdem komme ich irgendwie nicht weiter. Ich habe im Anhang mal 2 Lösungsansätze eingepackt... einmal über den Strom und einmal über die Kondensatorspannung. Ich weiß leider jetzt schon, dass ich keine Partialbruchzerlegung kann, komme also irgendwann nicht weiter... vielleicht ist es ja auch falsch, was ich gemacht habe. Es wäre super von Dir, wenn du mir dabei helfen würdest!
Vielen lieben Dank!
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo smarty!
Hast recht..... da habe ich beim Strom etwas vergessen, habe ich aber nun korrigiert. Um die Nullstellen zu berechnen, muss ich die P-Q-Formel anwenden. Das habe ich gemacht, allerdings kommen dann komplexe Nullstellen raus, was ich mir eigentlich nicht vorstellen kann, da wir noch nie(!) mit komplexen Nullstellen gerechnet haben. Es handelt sich bei der obigen Aufgabe um eine Klausuraufgabe. Das heißt, es gibt noch 5 andere Aufgaben (nicht nur LaPlace), die innerhalb von 2 Stunden gelöst werden sollen. Deswegen versuche ich diese Aufgabe zu verstehen, weil es meistens einen Trick gibt (wie z.B. das der Kondensator für die Gleichspannung eine Sperre ist), den man in der Klausur erkennen muss. Und deswegen kann man davon ausgehen, dass die Nullstellen nicht komplex sein dürfen. Ok, das ist jetzt keine Begründung dafür, aber die Hilfskraft vom Institut konnte sich das auch nicht vorstellen. Deswegen hätte ich ja gerne mal den gesamten Lösungsweg, damit ich meinen Fehler sehen kann. Deswegen habe ich ja auch die Lösung mitgepostet. Kommst du denn auf die Lösung? Ich weiß nicht weiter. LaPlace Aufgaben mit R-C oder L-C kann ich lösen, jedoch bereitet mir R-L-C Probleme. Es muss da irgendwas geben... Vielleicht ist ja auch die Lösung falsch? So ist sie auf jeden Fall auf dem Aufgabenzettel angegeben.
Vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mi 12.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
I(0)=0 ist richtig, aber wie kommst du auf I'(0)=0?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Das I'(0)=0 kommt von der LaPlace-Transformation der 2. Ableitung des Stromes.
[mm] \bruch{dx(t)}{dt} \to s*X(s)-x(t=0^{+})
[/mm]
[mm] \bruch{d^{2}x(t)}{dt^{2}} \to s^{2}*X(s)-s*x(t=0^{+})-\bruch{dx(t)}{dt}_{t=0^{+}}
[/mm]
Und die Ableitung von i(t) an der Stelle [mm] t=0^{+} [/mm] ist meiner Meinung nach Null, da ja auch [mm] i(t=0^{+}) [/mm] als Null vorausgesetzt wird. Die Ableitung von Null ist ja immer noch Null.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Do 13.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Ableitung der fkt f(x)=0 ist zwar 0, aber die ableitung einer fkt. f(x) ist doch nicht 0 an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] nur weil da [mm] f(x_0)=0. [/mm] Bei deiner Schaltung sieht man auch ohne Laplace, dass ne gedaempfte sin Schwg rauskommt.
sin(0)=0 (sin'(0)=1
Wenn I(0) und I'(0)=0 folgte auch I''(0)=0 und du haettest als Ergebnis I(t)=0
Gruss leduart.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jan,
jetzt habe ich doch noch mal meine Laplacetabellen rausgeholt und Du wirst sehen, Du bist auf dem richtigen Weg.
Zunächst aber noch ein Kommentar zu Deiner Verwunderung über was Schwingungsfähiges, denn darauf weisst die komplexe Nullstelle hin, die Du fast richtig ausgerechnet hast. Sobald in einem System zwei oder mehr Energiespeicher vorhanden sind, ist das Gebilde schwingungsfähig, wie, das hängt von den Parametern und dem Eingangssignal ab. Lasse Dich bei so einer Aufgabe nicht von der Gleichspannung täuschen, das was das Ganze zum Schwingen bringt, ist das Umlegen des Schalters in unendlich kurzer Zeit. Wenn Du Dir das Spektrum solch eines Einheitssprunges anschaust, so tauchen in ihm eine ganze Menge Frequenzlinien auf und für eine davon, nämlich für die bei der Schwingungsfrequenz der Serienschaltung aus L und C beginnt das Ganze zu schwingen, wenn auch gedämpft aufgrund der Wahl des Widerstandes R. Das zeigt sich auch im Stromverlauf, denn dort hast Du ja in der Musterlösung eine mit einer e-Funktion gedämpfte Sinusschwingung mit einer Frequenz [mm] \omega_0 [/mm], die blöderweise erst im Aufgabenteil b) definiert wird, in der Lösung zu a) aber bereits eingesetzt wird.
Unsere beiden Ausdrücke für den Strom im Laplacebereich sind gleich, Du hast über den Zeitbereich gerechnet, ich blieb gleich im Laplacebereich. Das ist einfach Übungssache.
Nun aber zur Aufgabe und zu Deiner Nullstellenbestimmung, in der ein C unter der Wurzel verschwand und in der Du den Realteil der Lösung noch weiter hättest umformen können. Die "2L" im Nenner des Realteils hättest Du noch als [mm] 4 L^2 [/mm] unter die Wurzel bringen können, aber im Endeffekt bekommst Du
$$ [mm] p_{1,2} [/mm] = - [mm] \wurzel{\bruch{3}{4 LC}} \pm [/mm] i [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{\bruch{1}{LC}} [/mm] $$
Der Realteil gibt Dir die Dämpfung an, der Imaginärteil die Schwingungsfrequenz. Jetzt habe ich einfach meine Laplacetabellen rausgeholt und da findest Du als Laplacetransformierte zu
$$ [mm] \bruch{1}{p^2 + 2 \delta p + \omega^2} [/mm] $$ die gedämpfte Sinusschwingung
$$ [mm] \bruch{1}{\omega_e} e^{- \delta t} \sin(\omega_e [/mm] t) $$
mit
$$ [mm] \omega_e [/mm] = [mm] \wurzel{\omega^2 - \delta ^2} [/mm] $$ falls das Argument der Wurzel größer 0 ist und das stimmt bei Deiner Angabe für R und es kommt genau für [mm] \omega_e [/mm] die Größe [mm] \omega_0 [/mm] raus.
Alles in Ordnung, aber man braucht schon etwas Übung beim Rechnen wie ich gerne zugebe.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo infinit!
Ich habe meinen Fehler in der P-Q-Formel korrigiert.... dämlich von mir 
Dennnoch habe ich jetzt eine gaaaanz blöde Frage:
Wie mache ich weiter, nachdem ich die beiden Nullstellen ausgerechnet habe? Also wie schreibe ich die berechneten Nullstellen nun wieder in meine I(s) Gleichung? Ich stehe gerade total auf dem Schlauch....
Danke nochmals!
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Do 13.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Jan,
zu den beiden Summanden, die Du da bekommst, gehören komplexe e-Funktionen, die zusammengefasst die gedämpfte Sinusschwingung ergeben. Was dahinter steckt, ist die Umschreibung einer komplexen Sinusfunktion als
$$ [mm] \sin [/mm] z = [mm] \bruch{1}{2i} (e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz}) \, [/mm] . $$
Ich nehme doch mal an, dass ihr Laplce-Tabellen verwenden dürft und dann kannst Du meine angegebene Lösung direkt ablesen. Es besteht dann keine Notwendigkeit, die Nullstellen zu bestimmen, sondern Du arbeitest direkt mit dem Bruch im Laplacebereich.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Do 20.08.2009 | | Autor: | Jan2006 |
Tja... was soll man sagen. Mittlerweile haben wir die Lösung zu dieser Aufgabe eingesehen. Selbst die Hilfskraft konnte uns nicht weiterhelfen und muss erst einmal den Prof. fragen, weil dort Sachen gemacht werden (quadratische Ergänzung u.s.w.), die für eine Klausur ziemlich zeitaufwendig sind. Ich danke euch trotzdem... der Weg ist ja das Ziel
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Partialbruchzerlegung