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L/K algebr., wenn Ring Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:42 So 22.03.2020
Autor: Roni99

Aufgabe
Zeige, eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann algebraisch, wenn jeder Ring $R$ mit $K [mm] \le [/mm] R [mm] \le [/mm] L$ schon ein Körper ist.

Nachdem mir nach langem Überlegen überhaupt kein brauchbarer Ansatz zu obiger Aufgabe eingefallen ist, habe ich im Internet nach einer Lösung dazu gesucht.

In einem Beitrag auf Matheplanet wurde ich dann fündig.

Der Link dazu: https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=31040&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F


Da postet jemand freundlicherweise die Hin-und Rückrichtung des Beweises. Nur leider verstehe ich die Rückrichtung nicht ganz. Ich tippe den Abschnitt mal ab:

[mm] "$\Leftarrow$" [/mm]

Sei jeder Ring $R$ zwischen $K$ und $L$ ein Körper.

Zu zeigen: $L/K$ ist algebraisch

Sei $ [mm] 0_{L} \neq [/mm] r [mm] \in [/mm] L$.

Betrachte den von $r$ über $K$ erzeugten Ring $R$, der alle Potenzen von $r$ und alle Linearkombinationen dieser Potenzen enthält.

Also $R = [mm] \left \{ \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \; \vert \; a_{i} \in K \right \}$ [/mm]


Da $r$ nach Voraussetzung ein Körper ist, muss [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] in $R$ liegen.

Es gibt also Koeffizienten [mm] $a_{i}$ [/mm] aus $K$ mit  [mm] $\frac{1}{r} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \Leftrighatrrow [/mm] 1 = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i + 1} \Leftrightarrow [/mm] 0 = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i + 1} [/mm] - 1$


Das heißt aber, dass $r$ Nullstelle des Polynoms [mm] $\sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot x^{i + 1} [/mm] - 1$ ist.


Ich bleibe erstmal bei dieser Richtung, weil ich diese schon verwirrend genug finde. Es kann sein, dass ich die andere dann selber verstehe, wenn ich diese Richtung verstehe.



Meine Fragen dazu sind:



1) Wir haben den Ring $R = [mm] \left \{ \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \; \vert \; a_{i} \in K \right \}$ [/mm] betrachet.

Woher wissen wir, dass jeder Ring $R$ so eine Menge ist ?

Und wie soll in diesem Fall [mm] $r^{i}$ [/mm] definiert sein ?

Ist [mm] $r^{i} [/mm] = [mm] \underbrace{r + r + \ldots + r}_{i\; \text{mal}}$ [/mm] oder [mm] $r^{i} [/mm] = [mm] \underbrace{r \cdot r \cdot \ldots \cdot r}_{i\; \text{mal}}$ [/mm] ? Weil ein Ring ja zwei Verknüpfungen hat.


2) Ist es nicht falsch, [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] zu schreiben? Es geht ja um einen allgemeinen Körper und nicht um z.B. die reellen Zahlen. Da würde ich die Inverse einfach mit [mm] $r^{- 1}$ [/mm] bezeichnen.

Außerdem ergibt für mich die Äquivalenzumformung [mm] $\frac{1}{r} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \Leftrighatrrow [/mm] 1 = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i + 1} [/mm] $ keinen Sinn.

Er multipliziert die rechte Seite der Gleichung einfach mit $r$, als ob wir in den reellen Zahlen wären. Aber wie soll [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] denn aussehen? Teilt man hier wortwörtlich das Einselement von $R$ mit einem Element von $L$ oder wie ist das zu verstehen?


Ich hoffe, ich habe meinen Standpunkt klar gemacht. :-)


Wäre klasse, wenn jemand Zeit und Lust hätte, mir zu helfen.


mfg,

Ronald


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
L/K algebr., wenn Ring Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 So 22.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Fragen dazu sind:

> 1) Wir haben den Ring [mm]R = \left \{ \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \; \vert \; a_{i} \in K \right \}[/mm] betrachet.
>  
> Woher wissen wir, dass jeder Ring [mm]R[/mm] so eine Menge ist ?

Weiß man gar nicht und im Allgemeinen gilt das auch gar nicht.
Aber wir betrachten hier ja auch gar keinen allgemeinen Ring.

Wir wiederholen nochmal:

> Sei $ [mm] 0_{L} \neq [/mm] r [mm] \in [/mm] L $.

> Betrachte den von [mm]r[/mm] über [mm]K[/mm] erzeugten Ring [mm]R[/mm], der alle
> Potenzen von [mm]r[/mm] und alle Linearkombinationen dieser Potenzen enthält.

D.h. wir betrachten (erstmal) die Menge R aller Potenzen von oben gewähltem $r$ und die Linearkombinationen dieser Potenzen. In Formeln:
$ R = [mm] \left \{ \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \; \vert \; a_{i} \in K \right \} [/mm] $

Diese Menge ist ein Ring. Wenn dir das nicht klar ist, rechne das nach!

> Und wie soll in diesem Fall [mm]r^{i}[/mm] definiert sein ?
>  
> Ist [mm]r^{i} = \underbrace{r + r + \ldots + r}_{i\; \text{mal}}[/mm]
> oder [mm]r^{i} = \underbrace{r \cdot r \cdot \ldots \cdot r}_{i\; \text{mal}}[/mm]
> ? Weil ein Ring ja zwei Verknüpfungen hat.

Letzteres.

> 2) Ist es nicht falsch, [mm]\frac{1}{r}[/mm] zu schreiben? Es geht
> ja um einen allgemeinen Körper und nicht um z.B. die
> reellen Zahlen. Da würde ich die Inverse einfach mit [mm]r^{- 1}[/mm]
> bezeichnen.

Falsch ist es nicht, es ist einfach Notation.
Ob du nun [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] oder [mm] $r^{-1}$ [/mm] für das Inverse schreibst, ist dir überlassen.
Es ist allerdings nicht ungewöhnlich für das Inverse der Verknüpfung [mm] "$\cdot$" [/mm] einfach [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] zu schreiben, d.h. es ist per Definition:
[mm] $\frac{1}{r} [/mm] := [mm] r^{-1}$ [/mm]
Das ist ja nichts weiter als eine Festlegung, ob man das Inverse von $r$ bezüglich der Operation [mm] "$\cdot$" [/mm] nun mit [mm] $r^{-1}$ [/mm] oder mit [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] bezeichnet.

> Außerdem ergibt für mich die Äquivalenzumformung
> [mm]\frac{1}{r} = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \gdw 1 = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i + 1}[/mm] keinen Sinn.
>  
> Er multipliziert die rechte Seite der Gleichung einfach mit [mm]r[/mm], als ob wir in den reellen Zahlen wären.

Das hat nichts mit den rellen Zahlen zu tun, sondern in jedem Ring, ja jeder Gruppe gilt doch: $a = b [mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] a = g [mm] \circ [/mm] b$


> Aber wie soll [mm]\frac{1}{r}[/mm] denn aussehen? Teilt man hier wortwörtlich das
> Einselement von [mm]R[/mm] mit einem Element von [mm]L[/mm] oder wie ist das
> zu verstehen?

Nein, gemäß Konvention ist [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] einfach das inverse Element von $r$ bezüglich [mm] "$\cdot$". [/mm] Siehe oben.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
L/K algebr., wenn Ring Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 So 22.03.2020
Autor: HJKweseleit


> Außerdem ergibt für mich die Äquivalenzumformung
> [mm]\frac{1}{r} = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \Leftrighatrrow 1 = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i + 1}[/mm]
> keinen Sinn.


Richtig. Hier liegt ein Druckfehler vor, es muss heißen

[mm]\frac{1}{r} = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i}[/mm]    [mm] \gdw[/mm]    [mm]1 = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i + 1}[/mm]     [mm] \gdw[/mm]    [mm]0 = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i + 1} - 1[/mm]

Bezug
                
Bezug
L/K algebr., wenn Ring Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 22.03.2020
Autor: Roni99

Stimmt, da war ich etwas verpeilt!

Vielen Dank.

mfg,

Ronald

Bezug
        
Bezug
L/K algebr., wenn Ring Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 So 22.03.2020
Autor: Roni99

Hey,

ich bedanke mich für die Hilfe. Deine Antwort habe ich soweit verstanden.

Mir sind heute morgen noch ein paar Sachen aufgefallen, die mich verwirren.



1)

Alleine in der Behauptung steht schon: "wenn jeder Ring $R$ mit $K [mm] \le [/mm] R [mm] \le [/mm] L$ schon ein Körper ist."

Muss man da wirklich erwähnen, dass $R$ ein Körper ist? Weil die Eigenschaft $K [mm] \le [/mm] R [mm] \le [/mm] L$ impliziert doch, dass $R$ ein Körper ist.

Da $L/K$ eine Körpererweiterung ist, sind $K$ und $L$ Körper.

Und wenn man $K [mm] \le [/mm] R [mm] \le [/mm] L$ schreibt, dann  weiß man, dass $R$ eine Körpererweiterung von $K$ ist und ein Teilkörper von $L$, also ein Zwischenkörper von $L/K$.



2)

im Beweis schreibt man [mm] $\frac{1}{r} [/mm] = [mm] r^{- 1}= \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i}$ [/mm]


Damit impliziert man doch, dass man das Element $r [mm] \in [/mm] L$ folgendermaßen darstellen kann: $r = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i}$ [/mm] für irgendwelche [mm] $a_{i} \in [/mm] K$.

Warum ist das so ?


Sonst denke ich, dass der Rest klar ist und schaue mir nun die andere Richtung an.

mfg,
Ronald

Bezug
                
Bezug
L/K algebr., wenn Ring Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Mo 23.03.2020
Autor: statler

Hi!

> 1)
>  
> Alleine in der Behauptung steht schon: "wenn jeder Ring [mm]R[/mm]
> mit [mm]K \le R \le L[/mm] schon ein Körper ist."
>  
> Muss man da wirklich erwähnen, dass [mm]R[/mm] ein Körper ist?
> Weil die Eigenschaft [mm]K \le R \le L[/mm] impliziert doch, dass [mm]R[/mm]
> ein Körper ist.
>  
> Da [mm]L/K[/mm] eine Körpererweiterung ist, sind [mm]K[/mm] und [mm]L[/mm] Körper.
>  
> Und wenn man [mm]K \le R \le L[/mm] schreibt, dann  weiß man, dass
> [mm]R[/mm] eine Körpererweiterung von [mm]K[/mm] ist und ein Teilkörper von
> [mm]L[/mm], also ein Zwischenkörper von [mm]L/K[/mm].

Wenn L z. B. Transzendenzgrad 1 über K hat, ist das nicht zwingend so.

> 2)
>  
> im Beweis schreibt man [mm]\frac{1}{r} = r^{- 1}= \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i}[/mm]
>  
>
> Damit impliziert man doch, dass man das Element [mm]r \in L[/mm]
> folgendermaßen darstellen kann: [mm]r = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i}[/mm]
> für irgendwelche [mm]a_{i} \in K[/mm].
>  
> Warum ist das so ?

Du machst doch einfach nur Äquivalenzumformungen mit der Gleichung ( [mm] \cdot [/mm] r, - 1).


Bezug
                        
Bezug
L/K algebr., wenn Ring Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Di 24.03.2020
Autor: Roni99


> > Alleine in der Behauptung steht schon: "wenn jeder Ring [mm]R[/mm]
> > mit [mm]K \le R \le L[/mm] schon ein Körper ist."
>  >  
> > Muss man da wirklich erwähnen, dass [mm]R[/mm] ein Körper ist?
> > Weil die Eigenschaft [mm]K \le R \le L[/mm] impliziert doch, dass [mm]R[/mm]
> > ein Körper ist.
>  >  
> > Da [mm]L/K[/mm] eine Körpererweiterung ist, sind [mm]K[/mm] und [mm]L[/mm] Körper.
>  >  
> > Und wenn man [mm]K \le R \le L[/mm] schreibt, dann  weiß man, dass
> > [mm]R[/mm] eine Körpererweiterung von [mm]K[/mm] ist und ein Teilkörper von
> > [mm]L[/mm], also ein Zwischenkörper von [mm]L/K[/mm].
>  
> Wenn L z. B. Transzendenzgrad 1 über K hat, ist das nicht
> zwingend so.


Ach so, gut zu wissen! Dann schaue ich danach nach einem Beispiel. Danke :)





> > 2)
>  >  
> > im Beweis schreibt man [mm]\frac{1}{r} = r^{- 1}= \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i}[/mm]
>  
> >  

> >
> > Damit impliziert man doch, dass man das Element [mm]r \in L[/mm]
> > folgendermaßen darstellen kann: [mm]r = \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i}[/mm]
> > für irgendwelche [mm]a_{i} \in K[/mm].
>  >  
> > Warum ist das so ?
>  
> Du machst doch einfach nur Äquivalenzumformungen mit der
> Gleichung ( [mm]\cdot[/mm] r, - 1).



So meinte ich das nicht, ich habe mein Problem vielleicht doof geschildert.
Ich schreibe mal, wie ich den ersten Teil des Beweises verstanden habe.



Behauptung
__________

Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann algebraisch, wenn jeder Ring $R$ mit $K [mm] \le [/mm] R [mm] \le [/mm] L$ schon ein Körper ist.



Beweis
______

[mm] $"\Leftarrow"$ [/mm]

Seien $L$ ein Körper und $K$ ein Teilkörper von $L$.

Sei $r [mm] \in [/mm] L$.

Dann betrachten wir die Menge $R := [mm] \left \{ \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \vert a_{i} K \right \}$ [/mm]

Das Tripel $(R, + ´, [mm] \cdot)$ [/mm] bildet einen Ring.


Nun müssen wir prüfen, ob $K [mm] \le [/mm] R [mm] \le [/mm] L$ gilt.

Dass $K [mm] \le [/mm] L$ gilt, also $K$ ist Unterring von $R$, sieht man so:

$K$ ist nach Voraussetzung ein Körper, also auch ein Ring. Und $K$ ist offensichtlich eine Teilmenge von $R$.

Aber wie sieht man, dass $R$ ein Unterring von $L$ ist ?





In diesem Ring $R$ ist das Element $r [mm] \in [/mm] L$ enthalten, da $r = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} [/mm] $  mit [mm] $a_{0} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] = [mm] 0_{K}$ [/mm] und [mm] $a_{1} [/mm] = [mm] 1_{K}$ [/mm]


Wobei die Darstellung von $r$ nicht unbedingt eindeutig sein muss, oder ? Falls nein, warum ist sie nicht eindeutig ?


Falls nicht, kann man auch sagen, dass es Koeffizienten [mm] $a_{i} \in [/mm] K$ gibt, mit $r = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} [/mm] $.


Der Ring $R$ soll nach Voraussetzung einen Körper bilden.

Das heißt, wenn $r [mm] \in [/mm] R$ , dann auch [mm] $r^{- 1} \in [/mm] R$.

Dazu gibt es Koeffizienten $a'_{i} [mm] \in [/mm] K$ mit [mm] $r^{- 1} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm]  a'_{i} [mm] \cdot r^{i} [/mm] $.


Dann erhalten wir durch Äquivalenzumformungen


[mm] $r^{- 1} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm]  a'_{i} [mm] \cdot r^{i} \Leftrightarrow [/mm] 1 =  [mm] \left ( \sum\limits_{i = 0}^{n} a'_{i} \cdot r^{i} \right [/mm] ) [mm] \cdot [/mm] r =  [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm]  a'_{i} [mm] \cdot r^{i + 1} \Leftrightarrow [/mm] 0 = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm]  a'_{i} [mm] \cdot r^{i + 1} [/mm] - 1$


Das bedeutet aber, dass $r$ eine Nullstelle des Polynoms $f = [mm] \sum\limits_{i = 0}^{n} [/mm]  a'_{i} [mm] \cdot r^{i + 1} [/mm] - 1 [mm] \in K[\; t\; [/mm] ]$ ist.


Habe ich das so richtig verstanden ? Korrigiere mich bitte, wenn ich an einer Stelle Mist erzähle! Aber bis auf meine 2 Fragen weiter oben sollte das passen.

Freue mich auf dein Feedback!


lg, Roni99

Bezug
                                
Bezug
L/K algebr., wenn Ring Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Mi 25.03.2020
Autor: statler

Guten Tag!

>
> Behauptung
>  __________
>  
> Eine Körpererweiterung [mm]L/K[/mm] ist genau dann algebraisch,
> wenn jeder Ring [mm]R[/mm] mit [mm]K \le R \le L[/mm] schon ein Körper ist.
>  
>
>
> Beweis
>  ______
>  
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]

Dazu müssen wir doch einfach nur zeigen, daß jedes Element r [mm] $\in$ [/mm] L algebraisch über K ist.

>  
> Sei [mm]r \in L[/mm].
>  
> Dann betrachten wir die Menge [mm]R := \left \{ \sum\limits_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot r^{i} \vert a_{i} K \right \}[/mm]
>  
> Das Tripel [mm](R, + ´, \cdot)[/mm] bildet einen Ring.

Das ist doch sonnenklar, weil ich solche Terme addieren und multiplizieren kann und dabei in R bleibe.

> Nun müssen wir prüfen, ob [mm]K \le R \le L[/mm] gilt.

Auch das ist klar, ich muß nur die Koeffizienten geeignet, also alle bis auf einen = 0 wählen.

> Aber wie sieht man, dass [mm]R[/mm] ein Unterring von [mm]L[/mm] ist ?

Weil alle auftretenden Elemente in L sind und L ein Körper ist, also additiv und multiplikativ abgeschlossen.


> Wobei die Darstellung von [mm]r[/mm] nicht unbedingt eindeutig sein
> muss, oder ? Falls nein, warum ist sie nicht eindeutig ?

Weil ich über die Darstellung keine weitere Vereeinbarung getroffen habe.

> Der Ring [mm]R[/mm] soll nach Voraussetzung einen Körper bilden.
>  
> Das heißt, wenn [mm]r \in R[/mm] , dann auch [mm]r^{- 1} \in R[/mm].
>  
> Dazu gibt es Koeffizienten [mm]a'_{i} \in K[/mm] mit [mm]r^{- 1} = \sum\limits_{i = 0}^{n} a'_{i} \cdot r^{i} [/mm].
>  
>
> Dann erhalten wir durch Äquivalenzumformungen
>  
>
> [mm]r^{- 1} = \sum\limits_{i = 0}^{n} a'_{i} \cdot r^{i} \Leftrightarrow 1 = \left ( \sum\limits_{i = 0}^{n} a'_{i} \cdot r^{i} \right ) \cdot r = \sum\limits_{i = 0}^{n} a'_{i} \cdot r^{i + 1} \Leftrightarrow 0 = \sum\limits_{i = 0}^{n} a'_{i} \cdot r^{i + 1} - 1[/mm]
>  
>
> Das bedeutet aber, dass [mm]r[/mm] eine Nullstelle des Polynoms [mm]f = \sum\limits_{i = 0}^{n} a'_{i} \cdot r^{i + 1} - 1 \in K[\; t\; ][/mm]
> ist.

Das ist der wesentliche Schritt!
Also ist r algebraisch.

Gruß Dieter




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