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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Man beweise:
[mm] \limes_{y\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{y})^{y} [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
Bemerkung: Als Spezialfall erhält man die bekannte Formel [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] = e |
Ich komm bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter. Die Bermerkung sagt mir auch garnichts.
So weit bin ich bisher gekommen:
[mm] \limes_{y\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{y})^{y}
[/mm]
= [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}exp(ln(1+\bruch{x}{y})*y)
[/mm]
= [mm] exp(\limes_{y\rightarrow\infty}ln((1+\bruch{x}{y})*y))
[/mm]
zz. [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}ln((1+\bruch{x}{y})*y) [/mm] = x
[mm] \limes_{y\rightarrow\infty}x*ln((1+\bruch{x}{y})*\bruch{y}{x})
[/mm]
Sei nun [mm] t:=\bruch{y}{x}, \limes_{y\rightarrow\infty}\bruch{y}{x} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \limes_{t\rightarrow0}\bruch{x*ln(1+t)}{t}
[/mm]
= [mm] \limes_{t\rightarrow0}\bruch{t*y*ln(1+t)}{t}
[/mm]
nach l'Hospital = [mm] \limes_{t\rightarrow0}t*ln(1+t)+t*y*ln(1+t)
[/mm]
Und hier bekäme ich nun 0*0+x*0 raus. Wahrscheinlich liegts an der Ableitung?
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> Man beweise:
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> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{y})^{y}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
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> Bemerkung: Als Spezialfall erhält man die bekannte Formel
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] = e
> Ich komm bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter. Die
> Bermerkung sagt mir auch garnichts.
> So weit bin ich bisher gekommen:
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{y})^{y}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}exp(ln(1+\bruch{x}{y})*y)[/mm]
>
> = [mm]exp(\limes_{y\rightarrow\infty}ln((1+\bruch{x}{y})*y))[/mm]
schreibe doch nun hier, da [mm] 0*\infty [/mm] vorliegt um in
[mm] exp\Big(\limes_{y\rightarrow\infty}\frac{ln(1+\bruch{x}{y})}{\frac{1}{y}}\Big)
[/mm]
nun liegt ja 0/0 vor, und nun n sauberer fall für den onkel
>
> zz. [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}ln((1+\bruch{x}{y})*y)[/mm] = x
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}x*ln((1+\bruch{x}{y})*\bruch{y}{x})[/mm]
>
> Sei nun [mm]t:=\bruch{y}{x}, \limes_{y\rightarrow\infty}\bruch{y}{x}[/mm]
> = 0
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{t\rightarrow0}\bruch{x*ln(1+t)}{t}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{t\rightarrow0}\bruch{t*y*ln(1+t)}{t}[/mm]
>
> nach l'Hospital =
> [mm]\limes_{t\rightarrow0}t*ln(1+t)+t*y*ln(1+t)[/mm]
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> Und hier bekäme ich nun 0*0+x*0 raus. Wahrscheinlich
> liegts an der Ableitung?
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
Danke für die Antwort!
Das ist mir nun ehrlich gesagt nicht ganz klar. Was sagt mir denn 0/0 ?
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> Danke für die Antwort!
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> Das ist mir nun ehrlich gesagt nicht ganz klar. Was sagt
> mir denn 0/0 ?
ich versteh die frage nicht so recht?
[mm] \left"\frac{0}{0}\right" [/mm] ist doch die vorraussetzung für die anwendung von de l'hopital
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
Haha, mir ist ein Licht aufgegangen, vielen Dank!
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