L'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Sielehui |
| Aufgabe 1 | | [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{-x^{2}}-1+x^{2}}{x^{4}} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+2} [/mm] |
Aufgabe 1: Ich habe die Regel von L'Hospital (oder Bernoulli) schon so verstanden, dass man für x jew. "0" einsetzen muss, oder? Dann bleibt der Nenner doch immer Null und ich komme zu keinem Ergebnis? Wie ist da die Lösung?
Aufgabe 2:
Bei Einsetzen von "0" bekommen ich [mm]\bruch{0}{-18}[/mm] heraus. Dieses Szenario, das nicht Zähler UND Nenner "0" ergeben, konnte ich in der Literatur nicht finden. Also leite ich ab und das richtige Ergebnis ist [mm]\bruch{1}{8}[/mm]?
Herzlichen Dank für die nette Hilfe :)
Beste Grüße
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sebastian, herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{-x^{2}}-1+x^{2}}{x^{4}}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+2}[/mm]
Vor die 0 unter dem Limes gehört kein Backslash, sondern ein Freiraum. Dann wird sie auch angezeigt. Durch den Quelltext war aber klar erkennbar, was Du da eigentlich suchst.
> Aufgabe 1: Ich habe die Regel von L'Hospital (oder
> Bernoulli) schon so verstanden, dass man für x jew. "0"
> einsetzen muss, oder? Dann bleibt der Nenner doch immer
> Null und ich komme zu keinem Ergebnis? Wie ist da die
> Lösung?
Wenn nach Anwendung der Regel von L'Hospital immer noch [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] dasteht, darfst und musst Du die Regel nochmal anwenden - solange, bis zum ersten Mal etwas anderes herauskommt.
> Aufgabe 2:
> Bei Einsetzen von "0" bekommen ich [mm]\bruch{0}{-18}[/mm] heraus.
> Dieses Szenario, das nicht Zähler UND Nenner "0" ergeben,
> konnte ich in der Literatur nicht finden. Also leite ich ab
> und das richtige Ergebnis ist [mm]\bruch{1}{8}[/mm]?
Die Nullstellen des Zählers sind 2 und 3, die des Nenners [mm] 6\pm \wurzel{34}. [/mm] Hier entsteht kein Problem an der Stelle x=0. Wenn [mm] \bruch{0}{-18} [/mm] herauskäme, wäre der Grenzwert Null. Ich komme aber auf [mm] \bruch{6}{2}=3.
[/mm]
Oder war die Aufgabe doch eine andere?
lg
reverend
> Herzlichen Dank für die nette Hilfe :)
>
> Beste Grüße
>
> Sebastian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 So 13.12.2009 | | Autor: | Sielehui |
Lieber reverend,
herzlichen Dank für Deine Antwort. Ich habe jetzt eine halbe Stunde herumgerätselt, wo das Problem liegt...und habe es herausgefunden.
x geht bei der 2. Aufgabe nicht gegen 0, sondern gegen 2.
Es gelten also:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{-x^{2}}-1+x^{2}}{x^{4}}[/mm]
--> Nenner bleibt bei Einsetzen von "0" doch IMMER "=0", oder?
[mm]\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+2}[/mm]
--> x=2 also weiterhin das Ergebnis [mm]\bruch{0}{-18}[/mm]
Meine Fragen beziehen sich alle auf diese Grenzwerte.
Beste Grüße
Sebastian
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Hallo Sebastian,
> x geht bei der 2. Aufgabe nicht gegen 0, sondern gegen 2.
Wie schön. Das ändert aber in der Sache nichts, siehe unten.
> Es gelten also:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{-x^{2}}-1+x^{2}}{x^{4}}[/mm]
>
> --> Nenner bleibt bei Einsetzen von "0" doch IMMER "=0",
> oder?
Bei mir ist die vierte Ableitung eine Konstante [mm] \not=0. [/mm] Und im Zähler?
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^{2}-5x+6}{x^{2}-12x+2}[/mm]
> --> x=2 also weiterhin das Ergebnis [mm]\bruch{0}{-18}[/mm]
Ok. Dann ist der Grenzwert also [mm] \bruch{0}{-18}=-\bruch{0}{18}=\quad{?}
[/mm]
> Meine Fragen beziehen sich alle auf diese Grenzwerte.
>
> Beste Grüße
>
> Sebastian
Lass Dich nicht verwirren. Das ist der Zweck beider Aufgaben...
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 So 13.12.2009 | | Autor: | Sielehui |
Vielen Dank :)
Also schreibe als Ergebnis (in der Klausur am Montag) dass Aufgabe eins in dem Sinne nicht lösbar ist und der Grenzwert bei der zweiten "=0" ist?
Ich hoffe Deine Antwort richtig interpretiert zu haben.
Herzliche Grüße
Sebastian
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Hallo nochmal,
da hast Du mich nicht ganz richtig verstanden.
Bei Aufgabe 2 ist der Grenzwert tatsächlich Null (für [mm] x\to [/mm] 2).
Aufgabe 1 verlangt mehrmaliges Differenzieren:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{e^{-x^{2}}-1+x^{2}}{x^{4}} \to "\bruch{0}{0}"
[/mm]
1. Mal L'Hospital:
Ableitung Zähler: [mm] -2xe^{-x^2}+2x
[/mm]
Ableitung Nenner: [mm] 4x^3
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{e^{-x^{2}}-1+x^{2}}{x^{4}}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-2xe^{-x^{2}}+2x}{4x^{3}} \to "\bruch{0}{0}"
[/mm]
2. Mal L'Hospital:
(2.) Ableitung Zähler: [mm] -2e^{-x^2}+(-2x)*(-2xe^{-x^2})+2=-2e^{-x^2}*(1-2x)+2
[/mm]
Für [mm] x_0=0 [/mm] ist der Funktionswert dieser Ableitung also -2*1*(1+0)+2=0
(2.) Ableitung Nenner: [mm] 12x^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{e^{-x^{2}}-1+x^{2}}{x^{4}}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-2xe^{-x^{2}}+2x}{4x^{3}}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-2e^{-x^{2}}(1-2x)+2}{12x^{2}} \to "\bruch{0}{0}"
[/mm]
3. Mal L'Hospital:
(3.) Ableitung Zähler: [mm] -2e^{-x^2}*(1-2x)(1-2x)-2*(-2e^{-x^2})=((1-2x)^2-2)*(-2e^{-x^2})=(2+8x-8x^2)e^{-x^2}
[/mm]
(3.) Ableitung Nenner: 24x
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{e^{-x^{2}}-1+x^{2}}{x^{4}}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-2xe^{-x^{2}}+2x}{4x^{3}}=\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{-2e^{-x^{2}}(1-2x)+2}{12x^{2}}\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{(2+8x-8x^2)e^{-x^2}}{24x} \to "\bruch{2}{0}"
[/mm]
Aha. Endlich ein Ergebnis. Der Grenzwert geht also gegen [mm] +\infty [/mm] (falls ich mich nicht verrechnet habe... edit: was ich gerade bezweifle. Aber jetzt suche ich nicht mehr nach Fehlern - besser ist ja sowieso, wenn Du ihn findest. )
Jedenfalls erkennst Du das Prinzip: solange - auch nach Anwendung von de l'Hospital - die Voraussetzungen für seine Anwendung erfüllt bleiben, darf er auch wieder angewendet werden.
Versuchs mal mit einer anderen Aufgabe: [mm] \limes_{x\to 0}\bruch{e^x-\bruch{1}{2}x^2-x-1}{\sin{x}-x}=\quad{?}
[/mm]
lg
rev
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 So 13.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 1: setze [mm] $t=x^2$. [/mm] Dann brauchst Du nur 2 mal L'Hopital
FRED
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