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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Do 23.02.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
g) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} (1+sin(x))^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Hinweis: der limes geht von RECHTS gegen null hab den pfeil nicht gefunden, spielt aber glaub ich in dem fall keine rolle oder? |
Hallo hab ne Frage zu der Aufgabe
sin(x) geht ja in dem fall gegen 0
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] geht gegen "unendlich"
darf ich so substituieren?
sin(x) = [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = y
y -> [mm] \infty
[/mm]
dann hätte ich ja die form [mm] (1+\bruch{1}{y})^{y}
[/mm]
und y -> [mm] \infty
[/mm]
das wäre die e-funktion, was auch als ergebnis rauskommen soll
nur die frage ist: darf ich so substituieren?
weil bei dem thema geht es um L'Hospital und der hat damit ja nicht viel zu tun ...
bei dem exponenten bin ich mir sicher das es erlaubt ist, nur darf ich den sinus so substituieren???
Danke im Voraus
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Hallo Tequila!
Das mit Deiner Substitution scheint mir nicht richtig, da Du ja auch bei Deiner gewählten Substitution konsequenterweise schreiben müsstest:
[mm] $\left(1+\bruch{1}{y}\right)^{\bruch{1}{\arcsin\left(\bruch{1}{y}\right)}}$
[/mm]
Aber forme folgendermaßen um:
[mm] $\left[1+\sin(x)\right]^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \left(e^{\ln\left[1+\sin(x)\right]}\right)^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln\left[1+\sin(x)\right]*\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{\ln[1+\sin(x)]}{x}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\left[1+\sin(x)\right]^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}e^{\bruch{\ln[1+\sin(x)]}{x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{\ln[1+\sin(x)]}{x}}$
[/mm]
Damit musst Du nun betrachten: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{\ln[1+\sin(x)]}{x}$
[/mm]
Und hierfür kannst Du nun  de l'Hospital verwenden ...
Gruß vom
Roadrunner
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