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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - LGS berechnen
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LGS berechnen: LGS Berechnung
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:21 Mi 09.05.2012
Autor: Masseltof

Aufgabe
Untersuchen Sie das folgende lineare Gleichungssystem auf Lösbarkeit in Abhängigkeit vom Parameter [mm] \alpha\in\IR [/mm]
[mm] \pmat{1&1&1&1\\2&-3&4&4\\2&2&(\alpha^{2}+1)&\alpha+1} [/mm]

a)Für welches [mm] \alpha [/mm] hat das LGS keine Lösung?
b)Das LGS hat unendlich viele Lösungen für [mm] \alpha=? [/mm]
c)Wie lautet die Lösung für das LGS für [mm] \alpha=3 [/mm]




Hallo.

Mein Ansatz:
a)Umformen LGS
[mm] \pmat{1&1&1&1\\0&-5&2&2\\0&0&(\alpha^{2}+1)&\alpha+1} [/mm]

Edit nach erster [mm] Antwort:\pmat{1&1&1&1\\0&-5&2&2\\0&0&(\alpha^{2}+1)&\alpha-1} [/mm]

[mm] -2+(\alpha^{2}+1)x_{3}=\alpha-1 [/mm]
[mm] \alpha+1=(\alpha^{2}+1)x_{3} [/mm]
[mm] \alpha+1=(\alpha+1)(\alpha-1)*x_{3} [/mm]
[mm] \frac{1}{\alpha-1}=x_{3} [/mm]


Setzt man [mm] \alpha=1 [/mm] in die Anfangsgleichung erhält man [mm] 0x_{3}=0, [/mm] was ja eigentlich einer Nullzeile entsprechen würde und somit hätte das LGS dann unendlich viele Lösungen.


Setze ich jedoch [mm] \alpha=1 [/mm] in die umgeformte Gleichung ein, so erhalte ich einen Ausdruck für den gilt, dass [mm] \alpha \not=1 [/mm] sein darf.

Wie soll ich das verstehen?
Spontan würde ich ja sagen, dass dies dann zu keiner Lösung des LGS führen dürfte, dass [mm] \alpha [/mm] ja nicht für 0 definiert ist.

[mm] c)\pmat{1&1&1&1\\2&-3&4&4\\2&2&(3^{2}+1)&3+1}= [/mm]
[mm] \pmat{1&1&1&1\\2&-3&4&4\\2&2&10&4} [/mm]
Umformung:
[mm] \pmat{1&1&1&1\\0&-5&2&2\\0&0&8&2} [/mm]

Löse ich das LGS jetzt auf, so erhalte ich Rationale Zahlen und eingesetzt als Probe machen sie keinen Sinn.
Wo liegt mein Fehler?

Grüße




        
Bezug
LGS berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mi 09.05.2012
Autor: Valerie20

Hi!

> Untersuchen Sie das folgende lineare Gleichungssystem auf
> Lösbarkeit in Abhängigkeit vom Parameter [mm]\alpha\in\IR[/mm]
>  [mm]\pmat{1&1&1&1\\ 2&-3&4&4\\ 2&2&(\alpha^{2}+1)&\alpha+1}[/mm]
>  
> a)Für welches [mm]\alpha[/mm] hat das LGS keine Lösung?
>  b)Das LGS hat unendlich viele Lösungen für [mm]\alpha=?[/mm]
>  c)Wie lautet die Lösung für das LGS für [mm]\alpha=3[/mm]
>  
> Hallo.
>
> Mein Ansatz:
>  a)Umformen LGS

Auf die letzte Zeile bist du vermutlich gekommen, indem du von der 3. Zeile zweimal die erste abgezogen hast?

Wenn ja, so must du natürlich auch [mm](\alpha^2+1)-2[/mm] sowie [mm](\alpha +1)-2[/mm] rechnen.

>  [mm]\pmat{1&1&1&1\\ 0&-5&2&2\\ 0&0&(\alpha^{2}+1)&\alpha+1}[/mm]
>  
> [mm]-2+(\alpha^{2}+1)x_{3}=\alpha-1[/mm]
>  [mm]\alpha+1=(\alpha^{2}+1)x_{3}[/mm]
>  [mm]\alpha+1=(\alpha+1)(\alpha-1)*x_{3}[/mm]
>  [mm]\frac{1}{\alpha-1}=x_{3}[/mm]
>  
> Setzt man [mm]\alpha=1[/mm] in die Anfangsgleichung erhält man
> [mm]0x_{3}=0,[/mm] was ja eigentlich einer Nullzeile entsprechen
> würde und somit hätte das LGS dann unendlich viele
> Lösungen.
>  
>
> Setze ich jedoch [mm]\alpha=1[/mm] in die umgeformte Gleichung ein,
> so erhalte ich einen Ausdruck für den gilt, dass [mm]\alpha \not=1[/mm]
> sein darf.
>  
> Wie soll ich das verstehen?
>  Spontan würde ich ja sagen, dass dies dann zu keiner
> Lösung des LGS führen dürfte, dass [mm]\alpha[/mm] ja nicht für
> 0 definiert ist.
>  
> [mm]c)\pmat{1&1&1&1\\ 2&-3&4&4\\ 2&2&(3^{2}+1)&3+1}=[/mm]
>  [mm]\pmat{1&1&1&1\\ 2&-3&4&4\\ 2&2&10&4}[/mm]
>  Umformung:
>  [mm]\pmat{1&1&1&1\\ 0&-5&2&2\\ 0&0&8&2}[/mm]
>  
> Löse ich das LGS jetzt auf, so erhalte ich Rationale
> Zahlen und eingesetzt als Probe machen sie keinen Sinn.
>  Wo liegt mein Fehler?
>  
> Grüße
>  
>
>  

Valerie


Bezug
                
Bezug
LGS berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Mi 09.05.2012
Autor: Masseltof

Hallo und danke für die Hilfe.

Das habe ich gemacht; ich habe lediglich vergessen das [mm] \alpha-1 [/mm] in die Matrix zu schreiben.
Die Rechnung müsste demnach stimmen.

Grüße

Bezug
                        
Bezug
LGS berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:47 Do 10.05.2012
Autor: fred97


> Hallo und danke für die Hilfe.
>  
> Das habe ich gemacht; ich habe lediglich vergessen das
> [mm]\alpha-1[/mm] in die Matrix zu schreiben.


Warum hast Du nicht umgesetzt, was Valerie geschrieben hat ? Es lautet demnach so:


$ [mm] \pmat{1&1&1&1\\0&-5&2&2\\0&0&(\alpha^{2}-1)&\alpha-1} [/mm] $

FRED


> Die Rechnung müsste demnach stimmen.
>  
> Grüße


Bezug
        
Bezug
LGS berechnen: Bitte Aufgabe überprüfen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:30 Do 10.05.2012
Autor: Diophant

Hallo Masseltof,

die Aufgabe ergibt in keiner deiner Versionen einen Sinn. Weiter unten möchtest du die Richtigkeit deiner Rechnung bestätigt haben. Ich sage nur

[mm] \alpha^2+1\ne{(\alpha+1)*(\alpha-1)} [/mm]

Es ist ja schon möglich, dass du da eine vernünftige Rechnung stehen hast. Nur, dann solltest du auch eine korrektze Aufgabenstellung dazu angeben, wenn du die Rechnung hier korrigiert haben möchtest. In deinen beiden Versionen gibt es nämlich kein [mm] \alpha, [/mm] für welches das LGS keine Lösung besitzt!


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
LGS berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Do 10.05.2012
Autor: Masseltof

Guten Tag.

Als ich die Aufgabe in diesen Thread gestellt habe, war es schon spät und ich leicht übermüdet.
So nochmal zur Korrektur und danke für die Geduld!
Umformung der Aufgabe führt zu
[mm] \pmat{1&1&1&1\\0&-5&2&2\\0&0&(\alpha^{2}-1)&\alpha-1} [/mm]

Also:
[mm] (\alpha^{2}-1)*x_{3}=\alpha-1 [/mm]
[mm] x_{3}=\frac{1}{\alpha+1} [/mm]

Für [mm] \alpha=-1 [/mm] ist das LGS unlösbar.
Für [mm] \alpha=1 [/mm] hat das LGS unendlich viele Lösungen.

So i.O?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
LGS berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Do 10.05.2012
Autor: angela.h.b.


>  Umformung der Aufgabe führt zu
>  [mm]\pmat{1&1&1&|1\\ 0&-5&2&|2\\ 0&0&(\alpha^{2}-1)&|\alpha-1}[/mm]
>  
> Also:
>  [mm](\alpha^{2}-1)*x_{3}=\alpha-1[/mm]
>  [mm]x_{3}=\frac{1}{\alpha+1}[/mm]
>  
> Für [mm]\alpha=-1[/mm] ist das LGS unlösbar.
>  Für [mm]\alpha=1[/mm] hat das LGS unendlich viele Lösungen.
>  
> So i.O?

Hallo,

ja, richtig.

Man fragt sich nun nur noch, was in allen anderen Fällen los ist- ah, ich sehe: das ist gar nicht ausdrücklich gefragt.

LG Angela

>  
> Viele Grüße


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