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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Di 06.11.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Löse folgendes LGS:
b) [mm] 2x_{1}+2x_{2}+4x_{3} [/mm] = 1
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3} [/mm] = -1
[mm] -x_{1}-x_{2}-3x_{3} [/mm] = -2 |
Hallo,
ich habe die Matrix mit dem Gauss-Verfahren so umgeformt, dass am Ende
steht:
[mm] \pmat{ 2 & 2 & 4 & =1\\ 0 & 0& 2&=3\\0 & 0& -2&=-3 }
[/mm]
Daraus folgt : [mm] x_{3}=1,5 \Rightarrow 2x_{1}+2x_{2} [/mm] +6 = 1 ;
und jetzt habe ich für [mm] x_{2} [/mm] einfach [mm] \lambda [/mm] eingesetzt und damit auch [mm] x_{3} [/mm] bestimmt ( [mm] x_{3} [/mm] = -2,5 [mm] -\lambda).
[/mm]
Ich habe dazu zwei Fragen :
1) Kann man so argumentieren?
2) wenn ja, warum kann man so argumentieren? bzw. ich habe schon gesehen, dass man so LGS lösen kann, jedoch die genaueren Hintergründe kenne ich nicht. Hat das was mit dem Rang und Dimension einer Matrix zu tun?...
Schöne Grüße
Igor
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> Löse folgendes LGS:
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> b) [mm]2x_{1}+2x_{2}+4x_{3}[/mm] = 1
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}[/mm] = -1
> [mm]-x_{1}-x_{2}-3x_{3}[/mm] = -2
> Hallo,
>
> ich habe die Matrix mit dem Gauss-Verfahren so umgeformt,
> dass am Ende
>
> steht:
> [mm]\pmat{ 2 & 2 & 4 & =1\\ 0 & 0& 2&=3\\0 & 0& -2&=-3 }[/mm]
>
> Daraus folgt : [mm]x_{3}=1,5 \Rightarrow 2x_{1}+2x_{2}[/mm] +6 = 1
> ;
>
> und jetzt habe ich für [mm]x_{2}[/mm] einfach [mm]\lambda[/mm] eingesetzt und
> damit auch [mm]x_{3}[/mm] bestimmt ( [mm]x_{3}[/mm] = -2,5 [mm]-\lambda).[/mm]
>
> Ich habe dazu zwei Fragen :
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> 1) Kann man so argumentieren?
Hallo,
ein bißchen verwurschtelt ist das noch...
Die Koeffizientenmatrix kannst Du noch weiter umformen zu
[mm] \pmat{ 2 & 2 & 4 & | 1\\ 0 & 0& 2&| 3\\0 & 0& &| }
[/mm]
Nun hast Du Zeilenstufenform. Du kannst ablesen: der Rang der Matrix =2 (2 "gefüllte" zeilen in Zeilenstufenform).
Das sagt Dir: die Dimension des Lösungsraumes ist 3-2=1.
Es wird also eine Gerade herauskommen als Lösungs dieses inhomogenen GSs.
Richtig erkannt hast Du
[mm] x_3=1.5 [/mm] und
[mm] 2x_{1}+2x_{2}[/mm] [/mm] +6 = 1
In der unteren Gleichung kannst Du eine Variable frei wählen, etwa
[mm] x_2=\lambda [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] beliebig.
Summa summarum hast Du dann
[mm] x_{1} [/mm] = -2.5 [mm] -\lambda
[/mm]
[mm] x_2= \lambda
[/mm]
x-3=1.5,
so daß sämtliche Lösungen [mm] \vec{x} [/mm] die Gestalt [mm] \vec{x}=\vektor{-2.5 \\ 0\\1.5} +\lambda\vektor{-1 \\ 1\\0} [/mm] haben.
Gruß v. Angela
> 2) wenn ja, warum kann man so argumentieren? bzw. ich habe
> schon gesehen, dass man so LGS lösen kann, jedoch die
> genaueren Hintergründe kenne ich nicht. Hat das was mit dem
> Rang und Dimension einer Matrix zu tun?...
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> Schöne Grüße
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> Igor
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