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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Do 19.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Frage 1) Sei X ein metrischer Raum und a [mm] \in A\subset [/mm] X. Warum hat jeder Punkt aus X einen endlichen Abstand von a?
Im Beweis von Foster(S.31 Satz 3)zu: Jede kompate Teilmenge A eines metrischen Raumes X ist beschränkt. wird das nämlich verwendet!
Frage 2)
Seien X,Y metrische Räume und f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y stetig. Ist [mm] K\subseteq [/mm] X kompakt, dann ist auch f(X) [mm] \subseteq [/mm] Y kompakt.
Beweis:
Sei [mm] (V_i)_{i\in I} [/mm] eine offene Überdeckung von f(K). Für jedes i ist [mm] U_i:=f^{-1}(V_i) [/mm] offen in X, weil fstetig ist. Außerdem ist laut Konstruktion [mm] K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, [/mm] was wegen der Kompaktheit von K eine endliche Auswahl von Indizes [mm] i_1,.,,i_k \in [/mm] I mit K [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^k U_{i_j} [/mm] erlaubt.
Dann ist aber auch f(K) [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^k f(U_{i_j}) \subseteq \bigcup_{j=1}^k V_{i_j}, [/mm] somit eine endliche Teilüberdeckung von [mm] (V_i)_{i\in I} [/mm] für f(K) gefunden. [mm] \Box
[/mm]
Frage: Warum gilt [mm] :K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i [/mm] ? Das mit der Konstruktion begründet wird? |
Liebe Grüße,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Do 19.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Frage 1) Sei X ein metrischer Raum und a [mm]\in A\subset[/mm] X.
> Warum hat jeder Punkt aus X einen endlichen Abstand von a?
Es ist doch d(x,a) [mm] \in \IR [/mm] für jedes x in X
> Im Beweis von Foster(S.31 Satz 3)zu: Jede kompate
> Teilmenge A eines metrischen Raumes X ist beschränkt. wird
> das nämlich verwendet!
>
> Frage 2)
> Seien X,Y metrische Räume und f:X [mm]\rightarrow[/mm] Y stetig.
> Ist [mm]K\subseteq[/mm] X kompakt, dann ist auch f(X) [mm]\subseteq[/mm] Y
> kompakt.
> Beweis:
> Sei [mm](V_i)_{i\in I}[/mm] eine offene Überdeckung von f(K). Für
> jedes i ist [mm]U_i:=f^{-1}(V_i)[/mm] offen in X, weil fstetig ist.
> Außerdem ist laut Konstruktion [mm]K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i,[/mm]
> was wegen der Kompaktheit von K eine endliche Auswahl von
> Indizes [mm]i_1,.,,i_k \in[/mm] I mit K [mm]\subseteq \bigcup_{j=1}^k U_{i_j}[/mm]
> erlaubt.
> Dann ist aber auch f(K) [mm]\subseteq \bigcup_{j=1}^k f(U_{i_j}) \subseteq \bigcup_{j=1}^k V_{i_j},[/mm]
> somit eine endliche Teilüberdeckung von [mm](V_i)_{i\in I}[/mm]
> für f(K) gefunden. [mm]\Box[/mm]
>
> Frage: Warum gilt [mm]:K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i[/mm] ?
Weil [mm] (V_i) [/mm] eine offene Überdeckung von f(K) ist.
FRED
> Das
> mit der Konstruktion begründet wird?
> Liebe Grüße,
> sissi
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