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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Mi 31.01.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Sei V ein }\mathbb{R}-\text{Vektorraum und }f\in\text{End}_{\mathbb{R}}(V)\text{ mit } f^2=\text{id}$
[/mm]
[mm] $\text{Zeigen Sie, dass Spek}(f)\subseteq\{-1,1\}$ [/mm] |
Hallo, ich bins noch mal.
Also, ich hab das jetzt mit vollst. Induktion versucht, aber das hat nicht wirklich funktioniert :(
Hoffe, jemand hat bessere Vorschläge und kann mir helfen.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:22 Mi 31.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Peter,
ich glaube Induktion macht hier wenig Sinn, ich wüsste nicht mal nach was man die machen soll.Hier mein Versuch:
Sei [mm] $\lambda\in [/mm] Spek(f)$, d.h. [mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert zum Eigenvektor [mm] $x\not=0$,d.h. $f(x)=\lambda [/mm] x$ ausserdem [mm] $f^2=id$ [/mm] nach Vorraussetzung.
Es gilt dann:
[mm] $x=f^2(x)=f(f(x))=f(\lambda x)=\lambda f(x)=\lambda^2 [/mm] x$
Es gilt also [mm] $\lambda^2x=x$. [/mm]
Ich denke, man kann hier schon sehen, dass [mm] \lambda^2=1 [/mm] und somit für
[mm] \lambda \in \IR, [/mm] also [mm] \lambda=1 [/mm] oder [mm] \lambda=-1 [/mm] gelten muss.
Damit ist die Behauptung gezeigt.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Mi 31.01.2007 | | Autor: | peter_d |
Ich danke dir vielmals, das war ja doch einfacher als ich je gedacht hätte  , und ich wollt da mit vollst. Ind. machen... :lol:
Danke und Gruß
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