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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:10 Di 09.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo.
Ich hatte hier mal wieder eine Übungsaufgabe.
y(x)= [mm] 2x^{4}+7x^{3}+5x^{2}
[/mm]
Und ich habe diese jetzt auf Extrema und Wendepunkte untersucht.
Als erstes habe ich jedoch die 3.Ableitungen gebildet.
[mm] f'(x)=8x^{3}+21x^{2}+10
[/mm]
[mm] f''(x)=24x^{2}+42x+10
[/mm]
f'''(x)=48x+42
Um auf die Extrempunkte zu kommen, habe ich jetzt f' "0" gesetzt.
[mm] 8x^{3}+21x^{2}+10=0
[/mm]
[mm] x(8x^{2}+21x+10)=0 [/mm]
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] 8x^{2}+21x+10=0
[/mm]
[mm] x^{2}+2,625x+1,25=0
[/mm]
[mm] x_{2;3}=-\bruch{p}{2}+/-\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}
[/mm]
[mm] x_{2;3}=-1,3125+/-0,6875
[/mm]
[mm] x_{2}=-2
[/mm]
[mm] x_{3}=-0,625
[/mm]
Nun habe ich die berechneten Ergebnisse in f'' eingesetzt.
f''(0)=10 (Tiefpunkt)
f''(-2)=22 (Tiefpunkt)
f''(-0,625)=-6,875 (Hochpunkt)
Um jetzt die y-Koordinaten zu erhalten, habe ich die berechneten Ergebnisse (x) in die Ausgangsgleichung eingestzt.
Und erhalte folgende Ergebnisse.
Tiefpunkt [0;0]
Tiefpunkt [-2;-4]
Hochpunkt [-6,875;0,55]
Um jetzt den/die Wendepunkte zu bestimmen, habe ich f'' "0" gesetzt.
[mm] 24x^{2}+42x+10=0
[/mm]
[mm] x^{2}+1,75x+0,4167=0
[/mm]
[mm] x_{1;2}=-\bruch{p}{2}+/-\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}
[/mm]
[mm] x_{1;2}=-0,875+/-0,59
[/mm]
[mm] x_{1}=-0,285
[/mm]
[mm] x_{2}=-1,465
[/mm]
Diese Werte habe ich jetzt in f''' eingesetzt, um zu schauen, ob dies [mm] \not=0 [/mm] ist, und somit Wendepunkte existieren.
Nachdem ich eingesetzt habe, habe ich erhalten
[mm] x_{1}=-28,32
[/mm]
[mm] x_{2}=28,32
[/mm]
Beide Ergebnisse sind [mm] \not=0 [/mm] somit Existieren Wendepunkte.
Jetzt habe ich die Wendepunkte ausgerechnet, indem ich die (x-Werte) aus dem "0" setzen der f'' in die Ursprungsgleichung eingesetzt habe.
[mm] y(-0,285)=\approx0,2572
[/mm]
[mm] y(-1,465=\approx-2,066
[/mm]
Somit sind die Wendepunkte bei
[-0,285;0,2572] und
[-1,465;-2,066]
ich weis, das war jetzt alles sehr viel, ich wäre aber trotzdem dankbar wenn mir jemand mitteilen würde ob meine Berechnungen korrekt waren.
Vielen Dank
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> Hallo.
> Ich hatte hier mal wieder eine Übungsaufgabe.
> y(x)= [mm]2x^{4}+7x^{3}+5x^{2}[/mm]
>
> Und ich habe diese jetzt auf Extrema und Wendepunkte
> untersucht.
> Als erstes habe ich jedoch die 3.Ableitungen gebildet.
> [mm]f'(x)=8x^{3}+21x^{2}+10\red{x}[/mm]
> [mm]f''(x)=24x^{2}+42x+10[/mm]
> f'''(x)=48x+42
>
> Um auf die Extrempunkte zu kommen, habe ich jetzt f' "0"
> gesetzt.
> [mm]8x^{3}+21x^{2}+10=0[/mm]
> [mm]x(8x^{2}+21x+10)=0[/mm]
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> [mm]8x^{2}+21x+10\red{x}=0[/mm]
> [mm]x^{2}+2,625x+1,25=0[/mm]
> [mm]x_{2;3}=-\bruch{p}{2}+/-\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}[/mm]
> [mm]x_{2;3}=-1,3125+/-0,6875[/mm]
> [mm]x_{2}=-2[/mm]
> [mm]x_{3}=-0,625[/mm]
>
> Nun habe ich die berechneten Ergebnisse in f'' eingesetzt.
> f''(0)=10 (Tiefpunkt)
> f''(-2)=22 (Tiefpunkt)
> f''(-0,625)=-6,875 (Hochpunkt)
>
> Um jetzt die y-Koordinaten zu erhalten, habe ich die
> berechneten Ergebnisse (x) in die Ausgangsgleichung
> eingestzt.
> Und erhalte folgende Ergebnisse.
> Tiefpunkt [0;0]
> Tiefpunkt [-2;-4]
> Hochpunkt [mm] [\red{-0,625 };0,55]
[/mm]
>
> Um jetzt den/die Wendepunkte zu bestimmen, habe ich f'' "0"
> gesetzt.
> [mm]24x^{2}+42x+10=0[/mm]
> [mm]x^{2}+1,75x+0,4167=0[/mm]
> [mm]x_{1;2}=-\bruch{p}{2}+/-\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}[/mm]
> [mm]x_{1;2}=-0,875+/-0,59[/mm]
> [mm]x_{1}=-0,285[/mm]
> [mm]x_{2}=-1,465[/mm]
>
> Diese Werte habe ich jetzt in f''' eingesetzt, um zu
> schauen, ob dies [mm]\not=0[/mm] ist, und somit Wendepunkte
> existieren.
> Nachdem ich eingesetzt habe, habe ich erhalten
> [mm]x_{1}=-28,32[/mm]
> [mm]x_{2}=28,32[/mm]
> Beide Ergebnisse sind [mm]\not=0[/mm] somit Existieren
> Wendepunkte.
>
> Jetzt habe ich die Wendepunkte ausgerechnet, indem ich die
> (x-Werte) aus dem "0" setzen der f'' in die
> Ursprungsgleichung eingesetzt habe.
> [mm]y(-0,285)=\approx0,2572[/mm]
> [mm]y(-1,465=\approx-2,066[/mm]
>
> Somit sind die Wendepunkte bei
> [-0,285;0,2572] und
> [-1,465;-2,066]
>
> ich weis, das war jetzt alles sehr viel, ich wäre aber
> trotzdem dankbar wenn mir jemand mitteilen würde ob meine
> Berechnungen korrekt waren.
Hallo,
die Vorgehensweise ist richtig, ich konnte auch dem Text gut folgen, und Deine Ergebnisse passen sehr gut zu dem, was der geplottete Graph zeigt, was stark daraufhindeutet, daß Du richtig gerechnet hast.
Jedes Ergebnis nachgerechnet habe ich nicht.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Di 09.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
Ich habe nunmehr auch die Zahelnwerte überprüft.
> [mm]8x^{2}+21x+10=0[/mm]
> [mm]x^{2}+2,625x+1,25=0[/mm]
Schreibe hier besser mit Brüchen.
> [mm]x_{2;3}=-\bruch{p}{2}+/-\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}[/mm]
> [mm]x_{2;3}=-1,3125+/-0,6875[/mm]
Und auch hier noch.
> [mm]x_{2}=-2[/mm]
> [mm]x_{3}=-0,625[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun habe ich die berechneten Ergebnisse in f'' eingesetzt.
> f''(0)=10 (Tiefpunkt)
> f''(-2)=22 (Tiefpunkt)
> f''(-0,625)=-6,875 (Hochpunkt)
> Und erhalte folgende Ergebnisse.
> Tiefpunkt [0;0]
> Tiefpunkt [-2;-4]
> Hochpunkt [-6,875;0,55]
Schreibfehler beim letzten Punkt. Das muss natürlich heißen:
$$H \ [mm] \left( \ \red{-0{,}625} ; \ 0{,}55 \ \right)$$
[/mm]
> Um jetzt den/die Wendepunkte zu bestimmen, habe ich f'' "0" gesetzt.
> [mm]24x^{2}+42x+10=0[/mm]
> [mm]x^{2}+1,75x+0,4167=0[/mm]
Siehe oben: Brüche!
> [mm]x_{1;2}=-\bruch{p}{2}+/-\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}[/mm]
> [mm]x_{1;2}=-0,875+/-0,59[/mm]
> [mm]x_{1}=-0,285[/mm]
> [mm]x_{2}=-1,465[/mm]
Hier entstehen dann leichte Rundungsfehler durch das frühzeitige Umschwenken auf gerundete Dezimalwerte.
> Nachdem ich eingesetzt habe, habe ich erhalten
> [mm]x_{1}=-28,32[/mm]
> [mm]x_{2}=28,32[/mm]
Das muss jeweils [mm] $\red{f'''(}x_1\red{)} [/mm] \ = \ ...$ heißen.
> Beide Ergebnisse sind [mm]\not=0[/mm] somit Existieren
> Wendepunkte.
> Jetzt habe ich die Wendepunkte ausgerechnet, indem ich die
> (x-Werte) aus dem "0" setzen der f'' in die
> Ursprungsgleichung eingesetzt habe.
> [mm]y(-0,285)=\approx0,2572[/mm]
> [mm]y(-1,465=\approx-2,066[/mm]
> Somit sind die Wendepunkte bei
> [-0,285;0,2572] und
> [-1,465;-2,066]
Gruß
Loddar
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