Kurvenschar-Limesverhalten < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Di 20.11.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in Abbhängigkeit vom Parameter "k" der Funktion
f(x) = - [mm] (x^{2} [/mm] + 1) * (k*x - 4)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
[/mm]
Wichtig!!: Bei dem ersten Limes geht es um PLUS undendlich und beim zweiten Limes geht es um MINUS unendlich. Weiss nicht wie man das hier so einzugeben hat) |
Hallo
wie genau muss ich bei so einer Kurvenscharfunktion vorgehen, wenn nach diesen zwei Grenzverhalten gefragt ist?
So weit ich weiss, muss ich aufjedenfall noch für Parameter k zwei Fälle betrachten.
Fall 1 gilt k [mm] \ge [/mm] 0
Fall 2 gilt k < 0
Könntet ihr mir beim ersten Grenzverhalten erklären was da zu machen ist / was ich in der Klausur aufs Blatt schreiben muss.
Wie muss ich dabei vorgehen und auf was muss ich achten?
Im anschluss daran mache ich dann die zweite Limesbetrachtung gegen Minus unendlich.
Danke
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> Bestimmen Sie in Abbhängigkeit vom Parameter "k" der
> Funktion
> f(x) = - [mm](x^{2}[/mm] + 1) * (k*x - 4)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm]
>
> Wichtig!!: Bei dem ersten Limes geht es um PLUS undendlich
> und beim zweiten Limes geht es um MINUS unendlich. Weiss
> nicht wie man das hier so einzugeben hat)
> Hallo
>
> wie genau muss ich bei so einer Kurvenscharfunktion
> vorgehen, wenn nach diesen zwei Grenzverhalten gefragt ist?
>
> So weit ich weiss, muss ich aufjedenfall noch für
> Parameter k zwei Fälle betrachten.
> Fall 1 gilt k [mm]\ge[/mm] 0
> Fall 2 gilt k < 0
>
> Könntet ihr mir beim ersten Grenzverhalten erklären was
> da zu machen ist / was ich in der Klausur aufs Blatt
> schreiben muss.
>
> Wie muss ich dabei vorgehen und auf was muss ich achten?
>
> Im anschluss daran mache ich dann die zweite
> Limesbetrachtung gegen Minus unendlich.
>
>
> Danke
Abend ;)
In solch einfachen Fällen hilft immer maximales Ausmultiplizieren und überlegen, was mit den Termen geschieht. Da du nur den Grenzwert für sehr große und kleine Werte wissen möchtest, brauchen wir dazu keine komplizierte Mathematik (wie z.B. es der Fall wäre, wenn man prinzipiell gegen einen bestimmten Punkt wie x -> 1 gehen würde)
Also folgt:
$ f(x) = - [mm] (x^{2} [/mm] + 1) * (k*x - [mm] 4)=-kx^3+4x^2-kx-4$, [/mm] sofern all deine Vorzeichen etc. stimmen. Was ist das für ein Polynom, von welchem Grad und wie gerichtet, also von wo nach wo verläuft der Graph der Funktion. Nun nimm dir einfach für x eine sehr große Zahl und schau dir am Graphen an, wohin es geht. Oder als Tipp: für sehr große x, wird bei Polynomfunktionne immer nur der Term mit dem höchsten Grad entscheidend [mm] sein....x^2+x [/mm] wird in jedem Fall das [mm] x^2 [/mm] größer sein als jedes x. Und so ist es eben bei dir auch. Also brauchst du immer nur den Termin mit dem höchsten Exponentne betrachten.
Jetzt kannst du deine Fallunterscheidung vornehmen.
Edit: Willst du generell bei limes oder sonstwo mehr als ein Zeichen verwenden (und $- [mm] \infty$ [/mm] sind ja zwei) so muss das Argument in geschweifte Klammern gesetzt werden (bei LaTeX):
[mm] $\limes_{n\rightarrow -\infty}$
[/mm]
In diesem Fall erübrigen sich sogar die Klammern, da das gesamte ein Ausdruck ist...Eventuell hast du ein Leerzeichen zwischen dem Befehl [mm] \rightarrow [/mm] und [mm] \infty [/mm] vergessen. Dann kann er natürlich mit dem Minus nichts anfangen, da er nicht weiß, wo ein Befehl beginnt und aufhört.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Hallo
also nach deinen Erklärungen müsste ich mich auf das [mm] x^3 [/mm] beziehen um das Grenzverhalten zu bestimmen.
f(x) = [mm] -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm]
Angenommen in dieser Funktion steht kein Parameter und ich muss das Grenzverhalten bestimmen.
f(x) = [mm] -x^{3} +4x^2-x-4 [/mm]
Ist das dann so richtig ?
Dann würde ich als erstes alle x-Werte betrachten die gegen PLUS unendlich verlaufen das heisst:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -x^{3} +4x^2-x-4 [/mm] = [mm] -\infty [/mm]
Das [mm] -\infty [/mm] wäre meine Lösung, wenn ich alle positiven x-Werte betrachte. Mein Begründung zu diesem Ergebnis: der höchste Exponent 3 ist eine ungerade Zahl.
Wenn ich jetzt für das x eine positive Zahl einsetzte und hoch 3 nehme kommt wieder eine Positive Zahl raus --> (+x)*(+x)*(+x) = +x
Aber davor steht noch ein Minus und wenn ich dieses Minus mit meinen ermittelten +x multipliziere kommt da letztendlich ein Minus raus daher wäre mein Ergebnis [mm] -\infty
[/mm]
Jetzt würde ich alle x-Werte betrachten die gegen MINUS unendlich verlaufen das heisst:
[mm] \limes_{n\rightarrow -\infty}= \limes_{n\rightarrow -\infty} -x^{3} +4x^2-x-4 [/mm] = [mm] +\infty [/mm]
das minuszeichen drei mal miteinander multipliziert ergibt ein Minus. Und das Minus mit dem Minus vor dem x multiplizieren, ergibt PLUS undendlich
Ist meine Vorgehensweise so richtig??
Wenn ja wie muss ich dass dan mit der Funktion MIT dem Parameter machen? Fallunterscheidung ... Aber wie?
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Do 22.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo
>
> also nach deinen Erklärungen müsste ich mich auf das [mm]x^3[/mm]
> beziehen um das Grenzverhalten zu bestimmen.
Ja, generell auf den größten Exponenten in der ausmultiplizierten Form.
>
> f(x) = [mm]-kx^{3} +4x^2-kx-4[/mm]
>
> Angenommen in dieser Funktion steht kein Parameter und ich
> muss das Grenzverhalten bestimmen.
> f(x) = [mm]-x^{3} +4x^2-x-4[/mm]
>
> Ist das dann so richtig ?
>
> Dann würde ich als erstes alle x-Werte betrachten die
> gegen PLUS unendlich verlaufen das heisst:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} -x^{3} +4x^2-x-4[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> Das [mm]-\infty[/mm] wäre meine Lösung, wenn ich alle positiven
> x-Werte betrachte. Mein Begründung zu diesem Ergebnis: der
> höchste Exponent 3 ist eine ungerade Zahl.
> Wenn ich jetzt für das x eine positive Zahl einsetzte und
> hoch 3 nehme kommt wieder eine Positive Zahl raus -->
> (+x)*(+x)*(+x) = +x
>
> Aber davor steht noch ein Minus und wenn ich dieses Minus
> mit meinen ermittelten +x multipliziere kommt da
> letztendlich ein Minus raus daher wäre mein Ergebnis
> [mm]-\infty[/mm]
>
> Jetzt würde ich alle x-Werte betrachten die gegen MINUS
> unendlich verlaufen das heisst:
> [mm]\limes_{n\rightarrow -\infty}= \limes_{n\rightarrow -\infty} -x^{3} +4x^2-x-4[/mm]
> = [mm]+\infty[/mm]
>
> das minuszeichen drei mal miteinander multipliziert ergibt
> ein Minus. Und das Minus mit dem Minus vor dem x
> multiplizieren, ergibt PLUS undendlich
>
> Ist meine Vorgehensweise so richtig??
Das ist in der Tat so.
Schau dur zu dem Thema aber auch mal das Kapitel 4.5 bei ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net an. In Kapitel 4.5.1 ist eine schönte Tabelle dazu.
>
> Wenn ja wie muss ich dass dan mit der Funktion MIT dem
> Parameter machen? Fallunterscheidung ... Aber wie?
Mache eine Falluterscheidung k>0 und k<0.
>
>
> Vielen Dank schonmal
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Hallo Marius
danke für den Link.
Das heisst also wegen der Funktion mit dem Parameter [mm] -kx^{3} +4x^2-kx-4
[/mm]
Dass ich folgende Fälle für die Bestimmung des Grenzwertverhaltens machen muss:
Fall 1 : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -x^{3} +4x^2-x-4 [/mm] in dem k [mm] \ge [/mm] 0 ist
Fall 2 : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -x^{3} +4x^2-x-4 [/mm] in dem k < 0 ist
Fall 3 : [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -x^{3} +4x^2-x-4 [/mm] in dem k [mm] \ge [/mm] 0 ist
Fall 4 : [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -x^{3} +4x^2-x-4 [/mm] in dem k < 0 ist
Bevor ich jetzt weiter mache, erstmal die Frage ob das so bei einer Funktion mit Parameter richtig ist.
Danke
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Hallo,
- wo ist dein k?
- das Vorzeichen der 4 ist nicht korrekt
bedenke z.B. für x gegen unendlich geht [mm] x^3 [/mm] auch gegen unendlich, jetzt kommt dein k noch in's Spiel
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Hi Steffi
hier ist es nochmal korrigiert
Fall 1 : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] in dem k [mm] \ge [/mm] 0 ist
Fall 2 : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] in dem k < 0 ist
Fall 3: [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -kx^{3}+4x^2-kx+4 [/mm] in dem k [mm] \ge [/mm] 0 ist
Fall 4: [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm] in dem k < 0 ist
Ok jetzt kommt das k mit ins Spiel..hoffentlich gewinne ich auch dabei und mach alles richtig
Ich versuche die Fälle jetzt zu lösen und du/ihr kontrolliert wieder sicherheitshalber
Fall 1 : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] in dem k [mm] \ge [/mm] 0 ist
[mm] :\limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
Fall 2 : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] in dem k < 0 ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
Fall 3: [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -kx^{3}+4x^2-kx+4 [/mm] in dem k [mm] \ge [/mm] 0 ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] = + [mm] \infty
[/mm]
Fall 4: [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm] in dem k < 0 ist
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Spiel verloren oder gewonnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Hallo chrisno
danke für deine Kontrolle.
Jetzt verstehe ich leider nicht warum ich man einen Parameter auch GLEICH Null setzen muss. Ich hatte gedacht ich muss Parameter zwischen [mm] \ge [/mm] 0 und x < 0 beachten.
Ok dann versuchs ich nochmal mit Fall 1
Fall 1
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] in dem k [mm] \ge [/mm] 0 ist
ergibt [mm] :\limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] in dem k = 0 ist
ergibt: [mm] :\limes_{x\rightarrow\infty} -(0)x^{3} +4*x^2-k*(0)+4 [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} 4*x^2+4 [/mm] = + [mm] \infty
[/mm]
Ist Fall 1 jetzt so richtig?
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Hallo
1. Fall: k>0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4=-\infty
[/mm]
2. Fall: k=0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4=\infty
[/mm]
bedenke der Term [mm] -kx^3 [/mm] wird zu Null
3. Fall: k<0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} -kx^{3} +4x^2-kx+4=\infty
[/mm]
Jetzt alles gegen [mm] -\infty
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Übersichtlicher und nachvollziehbarer konntest du es mir nicht hinschreiben. Super! Dadurch kann ich es jetzt schön auf [mm] -\infty [/mm] übertragen
Fall 1: k > 0
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm] = [mm] \infty [/mm]
Fall 2: k = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm] = [mm] \infty [/mm]
Fall 3: k < 0
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm] = [mm] -\infty [/mm]
Richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Super ich danke dir 
Eine allerletzte Frage hätte ich noch:
Ich habe ja zwei "Bereiche" betrachtet - einmal PLUS unendlich und einmal MINUS unendlich.
Für jedes dieser Bereiche habe ich noch mal wegen dem Parameter drei "Unterpunkte" betrachtet. Also k > 0 und k = 0 und k < 0.
Kann ich die Ergebnisse dieser 3 Unterpunkte nicht zusammenfassen?
Bereich PLUS unendlich die Ergbnisse der Unterpunkte waren für
1. Fall k > 0 haben wir letztendlich ein [mm] -\infty [/mm] ermittelt
2. Fall k = 0 haben wir letztendlich ein [mm] \infty [/mm] ermittelt
3. Fall k < 0 haben wir letztendlich auch ein [mm] \infty [/mm] wie im 2. Fall ermittelt
Kann/Darf ich jetzt diese drei Ergebnisse dieser 3 Unterpunkte für die Gesamten Kurvenscharfunktion nur für den Bereich x gegen PLUS unendlich zusammen fassen?
Also Fall 1 * Fall 2 * Fall 3 --> ( [mm] -\infty [/mm] ) * [mm] (\infty [/mm] ) * [mm] (\infty) [/mm] = !! [mm] -\infty [/mm] !!
[mm] -\infty [/mm] wäre also das zusammengefasste Ergebnis für den Bereich x gegen PLUS unendlich
Darf ich das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 22.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Super ich danke dir
>
> Eine allerletzte Frage hätte ich noch:
>
>
> Ich habe ja zwei "Bereiche" betrachtet - einmal PLUS
> unendlich und einmal MINUS unendlich.
>
> Für jedes dieser Bereiche habe ich noch mal wegen dem
> Parameter drei "Unterpunkte" betrachtet. Also k > 0 und k
> = 0 und k < 0.
>
> Kann ich die Ergebnisse dieser 3 Unterpunkte nicht
> zusammenfassen?
>
> Bereich PLUS unendlich die Ergbnisse der Unterpunkte waren
> für
>
> 1. Fall k > 0 haben wir letztendlich ein [mm]-\infty[/mm] ermittelt
> 2. Fall k = 0 haben wir letztendlich ein [mm]\infty[/mm] ermittelt
> 3. Fall k < 0 haben wir letztendlich auch ein [mm]\infty[/mm] wie
> im 2. Fall ermittelt
>
> Kann/Darf ich jetzt diese drei Ergebnisse dieser 3
> Unterpunkte für die Gesamten Kurvenscharfunktion nur für
> den Bereich x gegen PLUS unendlich zusammen fassen?
>
> Also Fall 1 * Fall 2 * Fall 3 --> ( [mm]-\infty[/mm] ) * [mm](\infty[/mm]
> ) * [mm](\infty)[/mm] = !! [mm]-\infty[/mm] !!
>
> [mm]-\infty[/mm] wäre also das zusammengefasste Ergebnis für den
> Bereich x gegen PLUS unendlich
>
>
> Darf ich das so machen?
Oh nein. Ich fürchte, dir ist nicht klar, was du da eigentlich "ermittelt" hast.
Mit [mm] \lim\limits_{x\to\infty}f(x) [/mm] betrachtet man den Verlauf des Graphen, wenn x nach rechts, also entlang der positiven x-Achse ewig weiterlaufen würde.
Mit [mm] \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) [/mm] betrachtet man den Verlauf des Graphen, wenn x nach links, also entlang der negativen x-Achse ewig weiterlaufen würde.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Ok. Dann weiss ich Bescheid. Hoff hast nicht nen kleinen Schock bekommen als ich diese Frage gestellt habe ^^
Vielen Dank an euch und noch einen schönen Abend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Do 22.11.2012 | | Autor: | chrisno |
I tend to disagree....
Setz mal ein, was für k=0 herauskommt, bevor Du den Limes bildest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Hallo chrisno,
ist da doch was falsch? Aber wenn ich doch für k null einsetze dann fällt das ja weg (so wie steffi das auch gesagt hast). Wo haben wir etwas übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 22.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Da habe ich ein k vor dem [mm] $x^2$ [/mm] Term gesehen, das nicht da steht. Also ziehe ich meine Anmerkung zurück.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Do 22.11.2012 | | Autor: | betina |
Also wenn ich jetzt für k ein Null einsetze in Funktion
f(x) = [mm] -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm]
f(x) = [mm] -(0)x^{3} +4x^2-(0)x-4 [/mm] Dann bleibt nur noch
f(x) = [mm] 4x^2-4 [/mm]
Die höchste Potenz ist eine gerade Potenz die 2 . Ich dachte man sollte sich immer auf den höchsten Exponenten beziehen...
Leider sehe ich immer nocht wo der Fehler ist
Hab erst jetzt deine Korrektur gesehen chrisno. Trotzdem Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | betina |
Online-Rechner zeigt ein anderes Ergebnis zum Symmetrieverhalten, als das was wir hier ermittelt haben.
Hallo ich habe hier einen Online-Funktionsscharrechner im Internet gefunden, um meine Ergebnisse meiner Übungen zu Funktionsscharaufgaben selbst zu kontrollieren.
Dabei wollte ich mir auch schon mal angucken, bevor ich total unsicher losrechne, was bei den Kriterien z.B. von Wendestellen-,punkte , Sattelpunkte rauskommt.
Jetzt ist mir dabei aber auch aufgefallen dass der Rechner unter dem Punkt "Verhalten von x --> +/- [mm] \infty" [/mm] als Ergebnis "nicht definiert"angibt.
Ist der Online-Rechner "zu blöd" für das Ergebnis des Symmetrieverhaltens für solche Kurvenscharfunktionen ??
Nicht, dass ich jetzt Übungen mache und der mir was falsches angibt...So weiss ich nicht ob ich jetzt richitg oder falsch gerechnet habe.
Ganz vorsicht gefragt, dass unser Ergebniss doch 100% richtig ist...oder etwa doch nicht....?
http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/ Man muss oben die Funktion so eingeben [mm] -k*x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] - k*x + 4
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Hallo betina,
der Onlinerechner funktioniert doch gut.
Die Funktion ist zum Ursprung nicht (punkt)symmetrisch, und zur Geraden x=0 nicht achsensymmetrisch.
Das Verhalten der Funktion für [mm] x\to\pm\infty [/mm] ist in der Tat nicht definiert. Für k>0 geht sie für [mm] x\to -\infty [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] und für [mm] x\to +\infty [/mm] gegen [mm] -\infty, [/mm] für k<0 umgekehrt. Ein Sonderfall ist k=0, da geht sie für [mm] x\to\pm\infty [/mm] beide Male gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Also alles in Ordnung. Wo liegt Dein Problem? Ich verstehe es gerade nicht.
Grüße
reverend
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Unterscheide zwischen k=0 und k>0.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
